二面角求法之面面观求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事. 1 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.例1 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-BD-C 1的正切值为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为 二面角C-BD-C 1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉 思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC 1 是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。

将题目略作变化，二面角A 1-BD-C 1的余弦值为 .在图1中，∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 cos ∠A 1OC 1=31例2(20XX 年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起 到△A 1EF 的位置，使二面角A 1-EF-B 成直二面角，连 接A 1B 、A 1P.(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A 1P-F 的余弦值。

分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△ PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=552，在△QMF 中，由余弦定理得cos ∠QMF=87-。

练习：20XX 广东高考理18.(本小题满分13分)如图5.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形， 且∠DAB=60︒，2PA PD ==,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点.DB 1图1AOA 1CBD 1C 1O 1M AFA 1QPBCECBPEF 图2(2)图2(1)Q(1) 证明：AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 解：(2) 由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2217()24PG =-=；在Rt BGA ∆中，222131()24BG =-=；在PGB ∆中，222cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅.2 三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作 出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt △PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？例3(20XX 年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A 1－AB －B 1的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为AB ，不像图3的那样一看就明白 的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF ⊥A B 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的 平面角.依次可求得AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=22，A 1F=23，则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 .与图3中的Rt △PAB 比较，这里的Rt △A 1EF 就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备. 3 垂面法事实上，图1中的平面COC 1、图2(2)中的平面QMF 、图3中的平面PAB 、图4中的平面A 1FE 都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.例4空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3392，求二面角βα--l 的大小. A图3αβPBl图4 B 1A αβA 1B lEF P图5βαlCBAGPAＳBＳCＳDＳFE分析与略解：如图5，分别作PA ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，则易知 l ⊥平面PAB ，设l ∩平面PAB=C ，连接PC ，则l ⊥PC.分别在Rt △PAC 、Rt △PBC 中，PC=3392，PA=4，PB=3，则AC=332，BC=335. 因为P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为直径，设PC=2R ，二面角βα--l 的大小为θ. 分别在△PAB 、△ABC 中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2·AC ·BCcos θ=PA 2+PB 2-2·PA ·PBcos(θπ-)， 则可解得cos θ=21-，θ=120o ，二面角βα--l 的大小为120o . 4 面积法如图1，设二面角C-BD-C 1的大小为θ，则在Rt △COC 1中，cos BDC CBD S S BD O C BDCO O C CO1112121∆∆=⋅⋅==θ，在某些情况下用此法特别方便.例5 如图6，平面α外的△A 1B 1C 1在α内的射影是边长为1的正三角形ABC ，且AA 1=2，BB 1=3，CC 1=4，求△A 1B 1C 1所在的平面与平面α所成锐二面角的余弦值分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB 1、CC 1取BD=CE=AA 1， 则△A 1B 1C 1≌△A 1DE ，可求得A 1B=2，A 1C 1=5，B 1C 1=2，所以等腰△A 1B 1C 1的面积为415，又正△ABC 的面积为43. 设所求二面角的大小为θ，则cos θ=55.5 变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略. 5.1 “无棱”二面角的求法严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法：(1)用面积法，见例5；(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.在例5中，延长C 1B 1和C 1A 1分别交CB 和CA 的延长线于G 、H ，连GH. 作CM ⊥GH 于M ，连C 1M ，C 1M ⊥GH ，则∠CMC 1是所求二面角的平面角. 由平几知识得CG=4，CH=2，则△CGH 的面积为32，又△CGH 的面积为21CH ·CM. αD AM 图6E CB C 1A 1B 1H G又由余弦定理得GH=32，所以CM=2，则在Rt △CMC 1中，cos θ=55. 在原图中，面A 1B 1C 1与α的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了.面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法. 5.2 有关二面角的最值问题求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题. 例6 二面角α-l -β的大小是变量)20(πθθ<<，点B 、C 在l上，A 、D 分别在面α、β内，且AD ⊥BC ，AD 与面β成6π角，若△ABC 的面积为定值S ，求△BCD 面积Q 的最大值.分析与略解：如图9，作AE ⊥BC 于E ，连DE ，则由AD ⊥BC 得 BC ⊥平面ADE ，则DE ⊥BC ，∠AED=θ，∠ADE=6π. 在△AED 中，由正弦定理得6sin )6sin(ππθ+=AEDE，所以)6sin(2,6sin )6sin(πθππθ+=+=S Q S Q ， 则当3πθ=时，有Q max =2S.△BCD 和△ABC 有公共的底边BC ，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.图7αEDCBA lβ。