2) R , A|| A
3 )A B A B , A ,B R n n ;
4) xRn 时 AxA x
5) ABA B, A 、B Rnn
定理5.3中的性质 1), 2) 和 3)是一般范数所满 足的基本性质，性质 4)、5) 被称为相容性条件， 一般矩阵范数并不一定满足该条件.
线性代数方程组的解法
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(2) 迭代解法：所谓迭代方法，就是构造某种 极限过程去逐步逼近方程组的解.
经典迭代法有：
Jacobi 迭代法、G a u s s S e i d e l迭代法、 逐次超松弛（SOR）迭代法等；
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5.1.1 向量空间及相关概念和记号
此时 A (ATA) 2
若
ARnn 为对称阵，
A (A) 2
（ 因为 (ATA)(A2) ）
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关于矩阵的谱半径与矩阵的范数之间有如下关系.
定理 5.4 设 A Rnn，则有
（1）对任意一种 A的从属范数 ，有
(A) A . （2）对任给的 0，存在一种 A的从属范数 ，第五章 线性代数程组的解法5.1 预备知识
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求解线性方程组 Axb
其中
a11 a12 L a1n
A a21
a22 L
a2n
L L L L L L L L L L
an1。
an2
L
ann
且 | A|0
xx1,x2,L,xnT bb1,b2,L,bnT
线性代数方程组的解法
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矩阵范数的等价定理：
对
A
、A
，存在常数 m
和M
，使得：
m A A M A
几种常用范数的等价关系：
1
A A nA
n
2
1 AA nA
n1
2
1
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2. 谱半径：
定义 5.2 设 A Rnn, 称其特征值的按模最大值
(A) max{ : (A)} 为 A的谱半径，这里 ( A)表示 A的特征值全体.
p
q
数m和M ，使对一切 x Rn都有
m x x M x .
(*)
q
p
q
例如：
1 x x x
n1
2
1
x xnx
1
x xnx
2
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2 向量序列的收敛问题 设 x (k ) R n ,k 1 ,2 ,L ,为 R n 中的一个给定 向量序列 x (k ) (x 1 (k ),L ,x n (k ))T 若对 i 1 ,2 ,L ,n有lki m xi(k) xi 则称向量序列{ x ( k ) } 收敛于向量 x(x1,L,xn)T
定义 5.1 若 是Rn上任意范数,则对任一 A Rnn
A max Ax max Ax ,
x0 x
x 1
称为 A的由向量范数 导出的矩阵范数，简称 A的从属
范数.
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定理5.3 矩阵的从属范数具有下列基本性质：
1） A 0 ，当且仅当 A0时， A 0
使得
A ( A) .
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3. 矩阵级数的收敛性 定义5.3 称矩阵序列 A (k)(ai(jk))Rnn 是收敛的， 如果存在 A(aij)Rnn ，使得
l k i m a i ( jk ) a ij, i,j 1 ,2 ,L ,n 此时称 A 为矩阵序列 A ( k ) 的极限 记为
1 向量的范数
设 是n维实向量空间Rn上的范数，最常用的向量
范数是 p范数： x ( x 1 ,x 2 ,L ,x n ) T
xpi n1|xi |p1/p,p[1,),
其中 p 1,2,是最重要的,即：
n
x1|x1||x2|L|xn| |xi|
x
2
n i1
xi2
1/ 2
i1
x m a x ( |x 1 |,L ,|x n |)
A
1 3
2 4
,
求
A ,p1,2, p
解： 按定义 A 6 A 7
1
Q A T A 1 2 4 3 1 3 4 2 1 1 0 4 2 1 0 4
I A T A 1 4 1 01 4 2 0 2 3 0 4 0
15 221
A (A T A )1 5 2 2 1 5 .4 6 2
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三种从属范数计算：
n
（1）矩阵的1-范数（列和范数）:
A 1
max j
i1
|
aij
|
n
（2）矩阵的 -范数（行和范数）: A max
i
| aij |
j1
（3）矩阵的2-范数:
A 2
1
其中 1 : A T A 的最大特征值
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例
已知矩阵
定理 5.2 设 为Rn中的任一种范数，则序 列{x(k)}收敛于 x Rn的充分必要条件为
x(k) x 0, k 时.
利用向量范数的等价性及向量范数的连续性, 容易 得到定理5.2的证明
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5.1.2 矩阵的一些相关概念及记号
1. 矩阵的范数
对于 R n 上的任何向量范数,我们可以定义矩阵范数.
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例 : 设 x(1,3,5,4)T, 求 x ,p1,2, p
根据定义:
4
x 1
| xi | 13
i1
x
2
4 i1
1/2
xi2
51
x m a x ( |x 1 |,L ,|x 4 |) 5
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范数的等价性
定理 5.1 对于Rn中任意两种范数 和 ，总存在常
命题: 当 k时
x(k) x limx(k)x 0
k
这是因为 x ( k ) x m a x | x 1 ( k ) x 1 | , L , | x n ( k ) x n |
从而当 k 时， x(k) x 与 x(k) x 0 等价
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利用 Cramer法则求解时存在的困难是：当方程
组的阶数 n 很大时，计算量为 O(n!)O(n2)
常用计算方法: (1) 直接解法：它是一类精确方法，即若不考虑计
算过程中的舍入误差，那么通过有限步运算可以获得 方程解的精确结果.
Gauss 逐步（顺序）消去法、 Gauss主元素法、矩阵分解法等；