广东省东莞市2020届高三数学下学期第二次统考6月模拟考试（最
后一卷）试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分，考试用时120分钟
注意事项： 2020.6 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合{}
{}3,2,1,1,32-=<=B x x x A ，则A
B =
A. {}2,1,1-
B. {}2,1-
C.{
}32,1， D. {}2,1 2．已知复数12i
34i
z +=
+，i 为虚数单位，则||z = A ．
15 B ．5 C ．12 D ．2 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心。
若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为
A.π3
B. π4
C.π5
D. π6 4.设等差数列{}n a 前n 项和n S ，满足92,6543==+a a a ，则7S =
A.
235 B. 21 C.2
49 D. 28 5.某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在3195±内，则称这批轮胎基本合格。
已知这批轮胎的宽度分别为200194190196195，，，，，则这批轮胎基本合格的概率为
A.
52 B. 53 C.54 D. 10
7 6.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法。
如右图将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两
个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线E 的一部分，且双曲线E 的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线E 的离心率为
A.
4 B. 3
D. 7.已知α为锐角，53cos =α，则=-)24tan(α
π
A. 21
B. 3
1
C.2
D. 3
8.已知函数()x
x a f x e e
=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂
直，则切点的横坐标为
A B ．ln 2 C ．2 D ．2ln 2 9.已知C B A ,,三点不共线，且点O 满足031216=--，则
A.312+=
B.312+-=
C.312-=
D.312--=
10.已知ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，C B c B c C b 2,3,6cos cos ===+， 则C cos 的值为
A.
53 B.43 C.33 D.2
3
11.在三棱锥BCD A -中,ABD △与CBD △均为边长为2的等边三角形,且二面角
C B
D A --的平面角为︒120,则该三棱锥的外接球的表面积为
A.
π3
16 B.π7
C.
π3
28
D.π8
12.已知函数()2
x
f x e ax =-，对任意10x <，20x <，都有()()()()
21210x x f x f x --<，
则实数a 的取值范围是
A.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ B.,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦ C.0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,02
e
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）
13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值为
14.设等比数列{}n a 前n 项和n S ，满足8
7
,4132==
S a ，则公比q 为 15.若非零向量b a,满足a b 4=，a b a ⊥)2(-，则a 与b 的夹角为 16．在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥
，2,AB AD ==
，CB CD ==，当三棱锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须做答；第22、23题为选考题，考生根据要求做答） （一）必考题（60分） 17. （12分）
已知数列}{n a 是等比数列，数列}{n b 满足12,8
3
,2111321+===
=++n n n n b b a b b b . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求}{n b 的前n 项和.
18. （12分）
已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，
2AB AD EA ===，4CD CF ==．
（1）求证：平面BDF ⊥平面BCF ； （2）求点B 到平面ECD 的距离．
（3） 19．（12分）
为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指
标值均在(]4515，
以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(]3015，以内的产品为合格品。
旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示。
A B
C
D E
F
（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率。
（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高。
根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”。
（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标t 的关系式为
⎩
⎨⎧≤<≤<=3015,14530,2t t y 。
若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，
请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本。
参考公式：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20()P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
已知点(0,0)O 、点(4,0)P -及抛物线2
:4C y x =．
（1）若直线l 过点P 及抛物线C 上一点Q ，当OPQ ∠最大时求直线l 的方程；
非优质品
优质品 合计 新设备产品 旧设备产品 合计
（2）x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的任一条直线与抛物线C 交于点B A ,，且点
M 到直线,AP BP 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
21．（12分）
已知()ln x
e f x a x ax x
=+-． （1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =-时，若不等式1()()0x f x bx b e x x
+---≥在[1，)+∞上恒成立，求b 的取值范围．
（二）选考题（10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做则按所做的第一题计分）
22. 【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在平面直角坐标系xoy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=.若P 为曲线1C 上的动点,Q 是射线OP 上的一动点,且满足2=•OQ OP ，记动点Q 的轨迹为2.C
（1）求2C 的直角坐标方程;
（2）若曲线1C 与曲线2C 交于N M ,两点,求OMN △的面积.
23. 【选修4-5：不等式选讲】 （10分）
已知函数1
()|||3|2()2f x x k x k =-++-∈R .
（1）当1=k 时,解不等式1)(≤x f ；
（2）若x x f ≥)(对于任意的实数x 恒成立,求实数k 的取值范围.。