. 解方程组
.
解得
,
,
.
当
任意一个成立时, 都有
. 所以, 当边长为
有最大体积
.
十七. 求原点到曲面
的最短距离.
解. 设曲面上达到最短距离的点为(x , y , z ), 则
达到最小值.
令
, 由(3) 若 = 1
代入(1), (2) 得 得到
, 解得
. 代入曲面方程
,
,
由(3) 若
由(3) 解得
一. 设 f , g 为连续可微函数,
, 求
.
解. ,
.
所以
二. 设 解. 原式两边对 y 求导.
, 其中 为可微函数, 求
.
. 所以
三. 设 解. 由上述表达式可知 x, z 为自变量, 所以
.
四. 求下列方程所确定函数的全微分:
1.
;ห้องสมุดไป่ตู้
2.
.
解. 1.
, 所以
, 所以
所以
2.
, 所以
, 所以
所以
.
解.
,
,
= 0
十一. 设
, 试确定常数 , 使
.
解.
=
所以
=
+
= 于是 = 1.
= 0
十二. 若
满足
, 其中 f ( u )有连续的二阶导数, 求 z .
解.
,
同理
所以
.
令
, 得常微分方程
于是
.
,
,
即
十三. 求曲面
的平行于平面
的切平面方程.
解. 设切点为
,
,
. 所求切面的法矢量为
. 所以
解得
为最大
为最小
当 y = 0 时,
[ －3, 0],
解得
为最大
为最小
当
时
[0, －3]
当
时 z 有最小值
. 即
当
时 z 有最大值
.即
当
时 z 有最大值
.即
综上所述:
=
为最大值,
为最小值.
十六. 在椭球面
内作内接直角平行六面体, 求其最大体积.
解. 设直角平行六面体在第一卦限的顶点为
. 该题为
下的最大住值. 令
五. 设
, 其中 f 具有二阶连续偏导数, 求
.
解.
=
六. 已知
.
解.
=
=
=
七. 设
确定, 求
.
解. 以上两式对 x 求导, 得到关于
的方程组
由克莱姆法则解得
,
八. 设
解.
=
于是
=
= 0
九. 设
, 其中 f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数,
二阶可导, 求
.
解.
=
十. 已知
,
,
p ( t ) 连续, 试求
. 由(1), (2) 得到
. 代入曲面方程
, 得到
,
,
,
所以所求的最短距离为
.
十八. 当
时, 求函数 上的最大值, 并证明对任意的成立不等式
在球面
解. 构造函数
,
解得
因为在球面上当
.
所以当
时, u 达到最大值.
对于任意正实数
,令
. 原题条件极值问题转化为
注意到
. 于是
即
.
,
代入曲面方程得:
,
所以
当
解得
所求切面方程为
,
即
;
当
解得
所求切面方程为
,
即
.
十四. 求圆周 方程.
处的切线与法平面
解. 圆周
在
处
,
,
.
所以在
处圆周的方向矢量为{16, 9, －1}.
所求切线:
,
所求法平面:
, 即
.
十五. 试求 最小值.
上的最大值与
解.
,
解得
,
.
当 x = 0 时,
[ －3, 0],