函数及其表示方法编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]x a x b a b≤<=；{|},x a x b a b{|},<≤=；[)(][)x x b b x a x a≤=∞≤=+∞.{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a).2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数与映射的区别与联系：设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.5.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一、函数的概念例1：下列式子是否能确定y是x的函数？（1）222;x y+=（21;（3）y=【答案】（1）不能（2）能（3）不能【解析】（1）由222,x y +=得y =，因此由它不能确定y 是x 的函数，如当1x =时，由它所确定的y 值有两个，即y=1±.（2）1,=得2(11y =+，∴当x 在{}|1x x ≥中任取一个值时，由它可以确定唯一的y 值与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数.（3）由20,10x x -≥⎧⎨-≥⎩得x ∈∅， 故由它不能确定y 是x 的函数.【总结升华】判断由一个式子是否能确定y 是x 的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x 的取值的集合中任意一个x 的值，由式子是否可确定唯一的一个y 的值与之对应，也可以看由式子解出的x 的解析式是否唯一.也就是“取元的任意性，取值的唯一性” .即自变量在定义域内取任意一个值，其函数值必须对应着唯一的值.【高清课程：函数的概念与定义域 356673 例2】例2．下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？（1）0)1x ()x (f -=；1)x (g =（2）x )x (f =；2x )x (g =（3）2x )x (f =；2)1x ()x (g +=（4）|x |)x (f =；2x )x (g =【思路点拨】对于根式、分式、绝对值式，要先化简再判断，在化简时要注意等价变形，否则等号不成立.【答案】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是【解析】(1)()()f x g x 与的定义域不同，前者是{}|1,x x x R ≠∈，后者是{}|0,x x x R ≠∈，因此是不同的函数；(2)()||g x x =，因此()()f x g x 与的对应关系不同，是不同的函数；(3)()()f x g x 与的对应关系不同，因此是不相同的函数；(4)()()f x g x 与的定义域相同，对应关系相同，是同一函数.【总结升华】函数概念含有三个要素，即定义域，值域和对应法则f ，其中核心是对应法则f ，它是函数关系的本质特征.只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一函数，换言之就是：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的.(3)即使定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.举一反三：【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与1x 1x y 2+-=是同一函数；(2)2x y =与y=|x|是同一函数； (3)233)x (y )x (y ==与是同一函数；(4)⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=)0x (x x )0x (x x )x (f 22与g(x)=x 2-|x|是同一函数. 【答案】(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题【解析】从函数的定义及三要素入手判断是否是同一函数，有(1)、(3)是假命题，(2)、(4)是真命题. 类型二、函数定义域的求法例3.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)2-1()-3x f x x =；(2)()f x =(3)()f x =. 【思路点拨】由定义域概念可知定义域是使函数有意义的自变量的取值范围. (1)是分式，只要分母不为0即可；(2)是二次根式，需根式有意义；(3)只要使得根式和分式都有意义即可．【答案】（1）(,()-∞⋃⋃+∞（2）8,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）(]6,2-【解析】 (1)21()3x f x x -=-的定义域为x 2-3≠0，(,()x ∴≠∴-∞⋃⋃+∞定义域为：；(2)88()-80,,33f x x x ⎡⎫=≥≥∴+∞⎪⎢⎣⎭3得，定义域为；(3)(]202() 6,260-6x x f x x x -≥≤⎧⎧=∴-⎨⎨+>>⎩⎩得定义域为. 【总结升华】使解析式有意义的常见形式有①分式分母不为零；②偶次根式中，被开方数非负.当函数解析式是由多个式子构成时，要使这多个式子对同一个自变量x 有意义，必须取使得各式有意义的各个不等式的解集的交集，因此，要列不等式组求解.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）： (1)3f (x)|x 1|2=--；(2)1f (x)x 1=-；（3）()f x =【答案】（1）(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；（2）[)3,1(1,)-⋃+∞；（3）[]0,1．【解析】(1)当|x-1|-2=0，即x=-1或x=3时，3|x 1|2--无意义，当|x-1|-2≠0，即x ≠-1且x ≠3时，分式有意义，所以函数的定义域是(-∞，-1)∪(-1，3)∪(3，+∞)；(2)要使函数有意义，须使x 10x 3x 1x 30-≠⎧≥-≠⎨+≥⎩，即且，所以函数的定义域是[)3,1(1,)-⋃+∞；(3)要使函数有意义，须使1x 0,x 0.-≥⎧⎨≥⎩，所以函数的定义域为[]0,1.【总结升华】小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；(即求各集合的交集)(5)满足实际问题有意义.类型三、求函数的值及值域例4. 已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))； (3)f(g(x))，g(f(x))【思路点拨】根据函数符号的意义，可以知道f(g(2))表示的是函数f(x)在x=g(2)处的函数值，其它同理可得．【答案】（1）-23，-1；（2）-20，-51；（3）8x 2-46x+40，4x 2-6x-55．【解析】(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2))=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2))=g(-23)=2×(-23)-5=-51；(3)f(g(x))=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x 2-46x+40；g(f(x))=g(2x 2-3x-25)=2×(2x 2-3x-25)-5=4x 2-6x-55.【总结升华】求函数值时，遇到本例题中(2)(3)(这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如f(g(x))，里层函数就是g(x)，外层函数就是f(x)，其对应关系可以理解为()(())g f x g x f g x −−→−−→，类似的g(f(x))为()(())f g x f x g f x −−→−−→，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果.例 5. 求值域(用区间表示)：(1)y=x 2-2x+4，①[]4,1x ∈--；②[]2,3x ∈-；-2(2)() (3)()3x f x f x x ==+.【答案】（1）[7，28] [3，12]；（2）)+∞；（3）(-∞，1)∪(1，+∞)． 【解析】(1)法一：配方法求值域．2224(1)3y x x x =-+=-+，①当[]4,1x ∈--时，max min 28,7y y ==，∴值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，max min 12,3y y ==，∴值域为[3，12]．法二：图象法求值域二次函数图象（如下图）的开口向上，对称轴为1x =，所以函数在区间(],1-∞上单调递减，在区间[)1,+∞上单调递增．所以①当[]4,1x ∈--时，值域为[7，28]；②当[]2,3x ∈-时，值域为[3，12]．(2))22-23(-1)22,2,y x x x ⎡=+=+≥∴+∞⎣值域为； (3)-23-5551-,0,13333x x y y x x x x +===≠∴≠++++Q ，∴函数的值域为(-∞，1)∪(1，+∞). 【总结升华】（1）求函数的值域问题关键是将解析式作变形，通过观察或利用熟知的基本函数的值域，逐步推出函数的值域．（2）求函数的值域没有固定的方法和模式，要靠自己经验的积累，掌握规律．求函数的值域不但要重视对应关系（解析式）的作用，而且要注意定义域对值域的制约作用．别忘了，函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用．举一反三：【变式1】 求下列函数的值域：（1）1y x =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x -=+；（4）254y x x =+-． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）{}|2y y ≠；（3）(]1,1-；（4）[]0,3．【解析】（1）0,11x x ≥≥Q，即所求函数的值域为[)1,+∞； （2）213x y x +=-2672(3)772333x x x x x -+-+===+---，703x ≠-Q ，2y ∴≠，即函数的值域为{}|2y y ≠； （3）2211x y x -=+2211x=-++ Q 函数的定义域为R22211,021x x ∴+≥∴<≤+，221111x∴-<-+≤+，(]1,1y ∴∈-，即函数的值域为(]1,1-． （4）2254(2)9y x x x =+-=--+Q 20(2)99x ≤--+≤Q∴所求函数的值域为[]0,3．类型四、映射与函数【高清课程：函数的概念与定义域 例1】例6. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；（3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→（5）A={0，1，2}，B={0，1，12}，对应法则是f ：x 1y x =→ 【思路点拨】根据映射定义分析是否满足“A 中任意”和“B 中唯一”．【解析】(1)是映射，不是函数，因为集合A 、B 不是数集，是点集；(2)是映射，集合A 中的任意一个元素(三角形)，在集合B 中都有唯一的元素(该三角形的外接圆)与之对应，这是因为不共线的三点可以确定一个圆；不是函数．(3)是映射，也是函数，函数解析式为0,(2)()1,(21)x n f x x n =⎧=⎨=+⎩．（4）是映射，也是函数．（5）对于集合A 中的元素“0”，由对应法则“取倒数”后，在集合B 中没有元素与它对应，所以不是映射，也不是函数．【总结升华】判断一个对应是不是映射和函数，要根据映射和函数的定义去判断，函数一定是映射，反过来，映射不一定是函数，从数集到数集的映射才是函数．举一反三：【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x ；(2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|；(3)A=R ，B=R ，;x1x 1y x :f -+=→ (4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.【解析】(1)、(4)、(5)、(6)是从A 到B 的映射也是从A 到B 的函数，但只有(6)是从A 到B 的一一映射；(2)、(3)不是从A 到B 的映射也不是从A 到B 的函数.类型五、函数解析式的求法例7. 求函数的解析式(1)若2()2f x x x =+，求(21)f x +；(2)若2(1)21f x x +=+，求()f x ；(3)已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．【答案】（1）2()483f x x x =++；（2）2()243f x x x =-+；（3）2()2f x x x=---． 【解析】求函数的表达式可由两种途径.(1)用代入法，22(21)(21)2(21)483f x x x x x +=+++=++．(2)法一：换元法令1t x =+，则1x t =-，所以22()2(1)1243f t t t t =-+=-+即：2()243f x x x =-+.法二：凑配法 2(1)21f x x +=+=22(1)4(1)3x x +-++，所以2()243f x x x =-+．(3)Q 1()2()32f x f x x -=+ ①，用1x 代替上式中的x ，得13()2()2f f x x x -=+ ② 由①②联立，消去1()f x，得 2()2f x x x=--- 故所求的函数为2()2f x x x=---． 【总结升华】（1）由()y f x =求[]()y f g x =，一般使用代入法；（2）凑配法和换元法有时可以并用，而换元法更具有一般性，同时，在使用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）若解析式中的两个变量具有互为倒数或互为相反数的特征，可联立方程组用消元法解出()y f x =的解析式．举一反三：【变式1】已知f(x+1)=x 2+4x+2，求f(x)．【答案】f(x)=x 2+2x-1【解析】(1)(法1)f(x+1)=x 2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法2)令x+1=t ，∴x=t-1，∴f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t 2+2t-1∴f(x)=x 2+2x-1；(法3)设f(x)=ax 2+bx+c 则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c∴a(x+1)2+b(x+1)+c=x 2+4x+21x 2x )x (f 1c 2b 1a 2c b a 4b a 21a 2-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=∴；【总结升华】求函数解析式常用方法：(1)换元法；(2)配凑法；(3)定义法；(4)待定系数法等.注意：用换元法解求对应法则问题时，要关注新变元的范围.类型六、函数的图象例8.作出下列函数的图象.（1）1({21012})y x x =-∈--，，，，；（2）211x y x +=-；（3）2|2|1y x x =-+． 【思路点拨】先把要画的函数图象进行变形，依据所学习过的基本函数图象，通过函数图象的平移、对称和翻折得到要求的图象。