迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。

迭代法又分为精确迭代和近似迭代。

“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。

迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。

它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。

利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

二、建立迭代关系式。

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。

迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

三、对迭代过程进行控制。

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。

不能让迭代过程无休止地重复执行下去。

迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。

对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。

如果所有的兔子都不死去，问到第12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。

我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 ＝ 1 ，u 2 ＝u 1 ＋u 1 × 1 ＝ 2 ，u 3 ＝u 2 ＋u 2 × 1 ＝4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n ＝u n － 1 × 2 (n ≥ 2)对应u n 和u n － 1 ，定义两个迭代变量y 和x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行11 次，就可以算出第12 个月时的兔子数。

参考程序如下：clsx=1for i=2 to 12y=x*2x=ynext iprint yend例 2 ：阿米巴用简单分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分钟。

将若干个阿米巴放在一个盛满营养参液的容器内，45 分钟后容器内充满了阿米巴。

已知容器最多可以装阿米巴220,220个。

试问，开始的时候往容器内放了多少个阿米巴？请编程序算出。

分析：根据题意，阿米巴每 3 分钟分裂一次，那么从开始的时候将阿米巴放入容器里面，到45 分钟后充满容器，需要分裂45/3=15 次。

而“容器最多可以装阿米巴2^ 20 个”，即阿米巴分裂15 次以后得到的个数是2^20 。

题目要求我们计算分裂之前的阿米巴数，不妨使用倒推的方法，从第15 次分裂之后的2^20 个，倒推出第15 次分裂之前（即第14 次分裂之后）的个数，再进一步倒推出第13 次分裂之后、第12 次分裂之后、……第 1 次分裂之前的个数。

设第 1 次分裂之前的个数为x 0 、第 1 次分裂之后的个数为x 1 、第 2 次分裂之后的个数为x 2 、……第15 次分裂之后的个数为x 15 ，则有x 14 =x 15 /2 、x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1)因为第15 次分裂之后的个数x 15 是已知的，如果定义迭代变量为x ，则可以将上面的倒推公式转换成如下的迭代公式：x=x/2 （x 的初值为第15 次分裂之后的个数2^20 ）让这个迭代公式重复执行15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴个数。

因为所需的迭代次数是个确定的值，我们可以使用一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。

参考程序如下：clsx=2^20for i=1 to 15x=x/2next iprint xendps:java中幂的算法是Math.pow(2, 20)；返回double，稍微注意一下例 3 ：验证谷角猜想。

日本数学家谷角静夫在研究自然数时发现了一个奇怪现象：对于任意一个自然数n ，若n 为偶数，则将其除以 2 ；若n 为奇数，则将其乘以 3 ，然后再加 1 。

如此经过有限次运算后，总可以得到自然数 1 。

人们把谷角静夫的这一发现叫做“谷角猜想”。

要求：编写一个程序，由键盘输入一个自然数n ，把n 经过有限次运算后，最终变成自然数 1 的全过程打印出来。

分析：定义迭代变量为n ，按照谷角猜想的内容，可以得到两种情况下的迭代关系式：当n 为偶数时，n=n/2 ；当n 为奇数时，n=n*3+1 。

用QBASIC 语言把它描述出来就是：if n 为偶数thenn=n/2elsen=n*3+1end if这就是需要计算机重复执行的迭代过程。

这个迭代过程需要重复执行多少次，才能使迭代变量n 最终变成自然数 1 ，这是我们无法计算出来的。

因此，还需进一步确定用来结束迭代过程的条件。

仔细分析题目要求，不难看出，对任意给定的一个自然数n ，只要经过有限次运算后，能够得到自然数 1 ，就已经完成了验证工作。

因此，用来结束迭代过程的条件可以定义为：n=1 。

参考程序如下：clsinput "Please input n=";ndo until n=1if n mod 2=0 thenrem 如果n 为偶数，则调用迭代公式n=n/2n=n/2print "—";n;elsen=n*3+1print "—";n;end ifloopend迭代法开平方：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){double a,x0,x1;printf("Input a:\n");scanf("%lf",&a);//为什么在VC6.0中不能写成“scanf("%f",&a);”？if(a<0)printf("Error!\n");else{x0=a/2;x1=(x0+a/x0)/2;do{x0=x1;x1=(x0+a/x0)/2;}while(fabs(x0-x1)>=1e-6);}printf("Result:\n");printf("sqrt(%g)=%g\n",a,x1);}求平方根的迭代公式：x1=1/2*(x0+a/x0)。

算法：1.先自定一个初值x0，作为a的平方根值，在我们的程序中取a/2作为a 的初值；利用迭代公式求出一个x1。

此值与真正的a的平方根值相比，误差很大。

2.把新求得的x1代入x0中，准备用此新的x0再去求出一个新的x1.3.利用迭代公式再求出一个新的x1的值，也就是用新的x0又求出一个新的平方根值x1，此值将更趋近于真正的平方根值。

4.比较前后两次求得的平方根值x0和x1，如果它们的差值小于我们指定的值，即达到我们要求的精度，则认为x1就是a的平方根值，去执行步骤5；否则执行步骤2，即循环进行迭代。

迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。

设方程为f(x) =0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。

上述算法用C程序的形式表示为：【算法】迭代法求方程的根{ x0=初始近似根；do {x1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程计算新的近似根*/} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；}迭代算法也常用于求方程组的根，令X=（x0，x1，…，xn-1）设方程组为：xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)则求方程组根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程组的根{ for (i=0;ix=初始近似根;do {for (i=0;iy=x;for (i=0;ix=gi(X);for (delta=0.0,i=0;iif (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；} while (delta>Epsilon)；for (i=0;iprintf(“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x)；printf(“\n”)；}具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。

递归递归是设计和描述算法的一种有力的工具，由于它在复杂算法的描述中被经常采用，为此在进一步介绍其他算法设计方法之前先讨论它。

能采用递归描述的算法通常有这样的特征：为求解规模为N的问题，设法将它分解成规模较小的问题，然后从这些小问题的解方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的分解和综合方法，分解成规模更小的问题，并从这些更小问题的解构造出规模较大问题的解。

特别地，当规模N=1时，能直接得解。

【问题】编写计算斐波那契（Fibonacci）数列的第n项函数fib（n）。

斐波那契数列为：0、1、1、2、3、……，即：fib(0)=0;fib(1)=1;fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) （当n>1时）。

写成递归函数有：int fib(int n){ if (n==0) return 0;if (n==1) return 1;if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);}递归算法的执行过程分递推和回归两个阶段。

在递推阶段，把较复杂的问题（规模为n）的求解推到比原问题简单一些的问题（规模小于n）的求解。

例如上例中，求解fib(n)，把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。

也就是说，为计算fib(n)，必须先计算f ib(n-1)和fib(n- 2)，而计算fib(n-1)和fib(n-2)，又必须先计算fib(n-3)和fib(n-4)。