《固体物理学》部分习题参考解答第一章1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。

从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：R f=2 a对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b=2a那么，R f R b31.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：根据题意，由于OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，那么 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。

分别如图所示：1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。

因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此123oo o a n h da n kd a n id=== ……… (1) 正方 a=b a ^b=90° 六方 a=b a ^b=120° 矩形 a ≠b a ^b=90° 带心矩形 a=b a ^b=90° 平行四边形 a ≠b a ^b ≠90°由于a 3=–（a 1+ a 2）313()ooa n a a n =-+把（1）式的关系代入，即得()id hd kd =-+ ()i h k =-+根据上面的证明，可以转换晶面族为 （001）→（0001），(13)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：6π（28（3）面心立方：6（4）六方密堆积：6（5）金刚石：16。

答：令Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。

于是有：111248i fe c Z N NN N =+++边长为a 的立方晶胞中堆积比率为334*3r F Z aπ=假设硬球的半径都为r ，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r ，那么： θ=334/3(2)r r π=6π（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，那么：θ=32(4/3)r π*=8（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r ，则其边长为，那么：θ= 34(4/3)r π*=6（4）对于六方密堆积一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r ，因此θ342()2r π⨯=6（5）对于金刚石结构Z=8 8r =那么33344*8338r F Z aππ==⨯⨯=16.1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位）a=3i ，b=3j ，c=1.5（i+j+k ），此处i ，j ，k 为笛卡儿坐标系中x ，y ，z 方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ 答：（1）因为a=3i ，b=3j ，而c=1.5（i+j+k ）=1/2（3i+3j+3k ）=1/2（a+b+c ′）式中c ′=3c 。

显然，a 、b 、c ′构成一个边长为3*10-10m 的立方晶胞，基矢c 正处于此晶胞的体心上。

因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。

（2）晶胞的体积= c (a b)'⨯ = 3k (3i 3j)⨯ =27*10-30(m 3)原胞的体积=c (a b )⨯ =1(333)(33)2i j k i j +++ =13.5*10-30(m 3) 1.7六方晶胞的基失为：22a a i j =+，22a b i j =-+，c ck =求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区. 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积Ω=a·（b*c ）=22c那么，倒格子的基矢为12()b c b π⨯=Ω22j aπ=+，22()c a b π⨯=Ω22j aπ=-+，32()a b b π⨯=Ω2k cπ=其第一布里渊区如图所示：1.8 若基失a ，b ，c 构成正交晶系，求证：晶面族（hkl ）的面间距为1h kl d =答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl ）中距原点最近平面在三个晶轴a 1，a 2，a 3上的截距分别为1a h，2a k，3a l 。

该平面（ABC ）法线方向的单位矢量是123d h d k d l n x y z a a a =++这里d 是原点到平面ABC 的垂直距离，即面间距。

由|n|=1得到222123()()()1d h d k d l a a a ++=故12222123[()()()]h k l d a a a -=++1.9 用波长为0.15405nm 的X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：2222|[1cos ()]sin ()hkl I F f n h k l fn h k l ππ∞=++++++考虑一级衍射，n=1。

显然，当衍射面指数之和（h+k+l ）为奇数时，衍射条纹消失。

只有当（h+k+l ）为偶数时，才能产生相长干涉。

因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。

由布喇格公式2sin (1)hkl d n θλ==得 1011011.54052.29510()2sin 2sin 19.611od m λθ-===⨯同法得1020021.633410()2sin d m λθ-==⨯1021131.337710()2sin d m λθ-==⨯1022031.160910()2sin d m λθ-==⨯1031041.040310()2sin d m λθ-==⨯应用立方晶系面间距公式h kl d =可得晶格常数h kl a d =把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a 的数值*10-10m 为3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值则得103.272510()a m -=⨯1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为a ，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为1a a i =2122a a i a j =+用正交关系式{022,i ji j ij i j b a ππδ≠===求出倒易点阵初基矢量b1，b2。

设 111x y b b i b j =+ 222x y b b i b j =+由112b a π= 120b a = 210b a = 222b a π= 得到下面四个方程式11()2x y ai b i b j π+= （1）111()()022x y a i a j b i b j ++= （2）22()0x y a i b i b j += （3）221()()222x y a i a j b i b j π++= （4）由（1）式可得：12x b aπ=由（2）式可得：1y b =-由（3）式可得：20x b = 由（4）式可得：2y b =于是得出倒易点阵基矢12b i j a π=-2b j =第三章 习题答案3.1 试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m ＝8.35×10－27kg ，恢复力常数β＝15N ·m －1解：一维单原子链的解为)(qna t i nAeX -=ω据周期边界条件 11+=N X X ，此处N=5,代入上式即得 1)5(=-qa i e所以 aq 5＝2π （ 为整数） 由于格波波矢取值范围：aq a ππ<<-。

则 2525<<-故 可取－2，－1，0，1，2这五个值 相应波矢：a54π-,a52π-,0,a52π,a54π由于2sin4qa mβω=，代入β，m 及q 值则得到五个频率依次为（以rad/sec 为单位）8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×10133.2 求证由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 ()2122)(2--=ωωπωρmN式中mmβω4=是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N解：对一维单原子链，()()dq q qd q d dN ρρωωρ2ˆ)(===所以()()dqd q ωρωρ2=（1）由色散关系2sin4qa m βω= 求得2/12)2sin1(2422cos4qa a ma qa mdqd -=∙=ββω2/12])4[(2ωβ-=ma （2）而()ππρ22Na L q ==， 则由（1）式可得()2/1222/12)(2]4[222--=-=ωωπωβπωρm N m a Na由于mmωβ=4 ，则总的振动模数为()ωωωπωωρd Nd Nm w w mm2/1220)(2--==⎰⎰令θωωsin =m，则积分限为0到2/π ， 故()N Nd N ===-⎰2122cos cos 2πθπθθθπππ3.3 设晶体由N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为()239ωωωρmN=解：由书上（3－69）式可得 ()()32223vvg ωπωωρ== （1）由（3－71）可得 ()vnm D 3/126πωω==由此可得 nv m 32332ωπ= ，代入（1）式得()239ωωωρmN=3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量m ＝8.35×10－27kg ，另一种原子的质量M ＝4m ，力常数β＝15N ·m －1，试求（1） 光学波的最高频率和最低频率max ω和min ω； （2） 声学波的最高频率Amax ω； （3） 相应的声子能量（以eV 为单位）；（4） 在300K 可以激发频率为max ω， min ω和Amax ω的声子的数目； （5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。