令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.② (1)∵a0＝C0＝1，∴a1＋a2＋a3＋„＋a7＝－2. 7
－1－37 (2)(①－②)÷ 2，得a1＋a3＋a5＋a7＝ ＝－1 094. 2 －1＋37 (3)(①＋②)÷ 2，得a0＋a2＋a4＋a6＝ 2 ＝1 093. (4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3， a5，a7小于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7) ＝1 093－(－1 094)＝2 187.
三条性质 (1)对称性； (2)增减性； (3)各项二项式系数的和； 以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结．
双基自测 1．(2011· 福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( A．80 B．40 C．20 D．10 解析 Tr＋1＝Cr (2x)r＝2rCr xr， 5 5 )．
当r＝2时，T3＝40x2. 答案 B
【训练1】
a 6 (2011· 山东)若 x－ 2 展开式的常数项为60，则常 x
数a的值为________． 解析 二项式
a 6 x－ 2 展开式的通项公式是Tr＋1＝C r 6 x
x6－r(－
a)rx－2r＝C r x6－3r(－ a)r，当r＝2时，Tr＋1为常数项，即常数项 6 是C2a，根据已知C2a＝60，解得a＝4. 6 6 答案 4
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋„＋a9＝(2－3)9＝－1 (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋„＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－„－a9＝59， 59－1 将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝ 2 ，即为所有奇数项 系数之和．
二项式定理给出的是一个恒等式，对a，b赋予一些特定的 值，是解决二项式问题的一种重要思想方法．赋值法是从函数
归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展 开，也可三项展开，四项展开等．
【示例】► 若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋„＋a9(x＋1)9＋ a10(x＋1)10，则a9＝( )．
A．9 B．10 C．－9 D．－10
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3 2
27 2 C7＝84，即xx－ 的展开式中x4的系数为84.



x
难点突破23——排列组合在二项展开式中的应用 (a＋b)n展开式可以由次数、项数和系数来确定． (1)次数的确定 从n个相同的a＋b中各取一个(a或b)乘起来，可以构成展开式 中的一项，展开式中项的形式是mapbq， 其中p∈N，q∈N，p＋q＝n. (2)项数的确定 满足条件p＋q＝n，p∈N，q∈N的(p，q)共n＋1组． 即将(a＋b)n展开共2n项，合并同类项后共n＋1项．
(2)增减性与最大值： 二项式系数 Ck ，当 n n＋1 k＜ 2 时，二项式系数逐渐 增大 ．由对称
性知它的后半部分是逐渐减小的； n 当 n 是偶数时，中间一项 C2n 取得最大值； n－1 n＋1 当 n 是奇数时，中间两项 C 2 n，C 2 n 取得最大值．
0 1 2 n (3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋„＋Cr ＋„＋Cn＝2n； n
2 x－ x
7
的展开式中，x4的系数是
________(用数字作答)． 解析
2 7 2 7 3 原问题等价于求 x－x 的展开式中x 的系数， x－x 的
2r r 7－r 通项Tr＋1＝C 7 x － ＝(－2)rC r x7－2r，令7－2r＝3得r＝2，∴ 7 x x 的系数为(－2) 答案 84
5．(2011· 安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a21x21，则a10＋ a11＝________. 解析 Tr＋1＝Cr x21－r(－1)r＝(－1)rCr x21－r 21 21 由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C 11 ， 21 a11＝C10， 21 ∴a10＋a11＝C10－C11＝0. 21 21 答案 0
4．(2011· 重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的 系数相等，则n＝( )．
A．6 B．7 C．8 D．9 解析 Tr＋1＝Cr (3x)r＝3rCr xr n n
6 由已知条件35C5＝36Cn n
即C5＝3C6 n n n！ n！ ＝3 5！n－5！ 6！n－6！ 整理得n＝7 答案 B
考向三 二项式的和与积 【例3】►(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________． [审题视点] 定理的形式． 解析 (1＋2x)3(1－x)4展开式中的x项的系数为两个因式相乘而 得到，即第一个因式的常数项和一次项分别乘以第二个因式的
1 一次项与常数项，它为C0(2x)0· 1(－x)1＋C3(2x)1· 014(－x)0，其 C4 C4 3 1 系数为C03· 1(－1)＋C3· C4 2＝－4＋6＝2.
2．若(1＋ 2)5＝a＋b 2(a，b为有理数)，则a＋b＝( A．45 B．55 C．70 D．80 解析
)．
(1＋ 2)5＝1＋5 2＋10( 2)2＋10( 2)3＋5( 2)4＋( 2)5＝
41＋29 2 由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70. 答案 C
3．(人教A版教材习题改编)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋ a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( A．9 B．8 C．7 D．6 解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0 令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16 ∴a0＋a2＋a4＝8. 答案 B )．
考向二 二项式定理中的赋值 【例2】►二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． [审题视点] 值． 此类问题要仔细观察，对二项式中的变量正确赋
解 设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋„＋a9y9.
0 2 9 (1)二项式系数之和为C9＋C19＋C9＋„＋C9＝29.
考向一
二项展开式中的特定项或特定项的系数
3 3 【例1】►已知在 x－ 3 n的展开式中，第6项为常数项． x (1)求n； (2)求含x2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项． [审题视点] 键． 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关
解
r r n－r r r r n－2r 通项公式为Tr＋1＝Cnx (－3) x－ ＝(－3) Cnx . 3 3 3
第3讲 二项式定理
【2013 年高考会这样考】 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【复习指导】 二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握 这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．
基础梳理 1．二项式定理
r (a＋b)n＝C 0 an＋C 1 an－1b＋„＋C n an－rbr＋„＋C n bn(n∈N*)这个 n n n
1 的角度来应用二项式定理，即函数f(a，b)＝(a＋b)n＝C 0 an＋C n n
an 1b＋„＋C r an rbr＋„＋C n bn.对a，b赋予一定的值，就能得 n n 到一个等式．
－
－
【训练2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋„＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋ a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋„＋|a7|. 解 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系 数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排 列组合知识的发展和延续． 两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项 的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等 式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．
(3)系数的确定 展开式中含apbq(p＋q＝n)项的系数为C 数)因此(a＋b)n展开式中的通项是 Tr＋1＝Cr an rbr(r＝0,1,2，„，n) n
2 n (a＋b)n＝C 0 an＋C 1 an－1b＋C n an－2b2＋„＋C n bn这种方法比数学 n n
－
q n
(即p个a，q个b的排列
(3)字母a按 降幂 排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到 零；字母b按升幂 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
0 1 (4)二项式的系数从Cn，Cn，一直到Cn 1，Cn. n n
－
3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系
－ 数 相等 ．即 Cr ＝Cn r. n n
(1)∵第6项为常数项， n－2r ∴r＝5时，有 3 ＝0，解得n＝10. n－2r 1 (2)令 ＝2，得r＝ (n－6)＝2， 3 2
2 ∴x2的项的系数为C10(－3)2＝405.
10－2r ∈ZZ.
10－2r 令 ＝k (k ∈Z)，则 10－2r 3
C0＋C2＋C4＋„＝C1＋C3＋C5＋„＝2n 1. n n n n n n
－
一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝C r an－rbr，注意(a＋b)n与 n (b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的， 一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的 (字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r ，而后者是字母外 n 的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可 正可负．
求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式
答案 2
对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的 系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数 的运算性质．二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问 题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项 式定理的形式去求解．