两个概念 (1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多 边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形， 侧棱垂直于底面，侧面是矩形． (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多 边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱 锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在 底面的射影是底面正多边形的中心．
解析 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等， 其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底 面所成角相等，即A正确；底面四边形必 有一个外接圆，即C正确；在高线上可以 找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶 点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱 锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成 立)．故仅命题B为假命题．选B. 答案 B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答案 A
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【训练2】
(2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个 )．
几何体的直观图可以是(
解析 A中正视图，俯视图不对，故A错．B中正视图，侧视图 不对，故B错．C中侧视图，俯视图不对，故C错，故选D. 答案 D
考向三
空间几何体的直观图
【例3】►已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直 观图△A′B′C′的面积为( 3 2 A. 4 a 3 2 B. 8 a 6 2 C. 8 a )．
A．正方形 C．菱形
解析
将直观图还原得▱OABC，则
∵O′D′＝ 2O′C′＝2 2 (cm)， OD＝2O′D′＝4 2 (cm)， C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)， OC＝ CD2＋OD2＝ 22＋4 22＝6 (cm)， OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC， 故原图形为菱形． 答案 C
6 2 D. 16 a
[审题视点] 画出正三角形△ABC的平面直观图△A′B′C′， 求△A′B′C′的高即可．
解析
如图①②所示的实际图形和直观图．
1 3 由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝2OC＝ 4 a， 在图②中作C′D′⊥A′B′于D′， 2 6 则C′D′＝ 2 O′C′＝ 8 a. 1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′＝2A′B′· C′D′＝2×a× 8 a＝ 16 a . 答案 D
3．空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影 面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全 等和相等的，三视图包括 正视图 、侧视图 、俯视图 ．
4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直 观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点 O′，且使∠x′O′y′＝ 45°或135°，已知图形中平行于x 轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形 中平行于x轴的线段，在直观图中长度 不变 ，平行于y轴的线 段，长度变为 原来的一半 ．
第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图
【2013年高考会这样考】 1．几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点． 2．三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学 生三视图及几何量计算的趋势． 【复习指导】 1．备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何 体的结构特征的题型． 2．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、 三棱锥等几何体的三视图．
4．(2011· 浙江)若某几何体的三视图 如图所示，则这个几何体的直观 图可以是( )．
解析
所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D
选项的侧视图不符合，只有选项B符合． 答案 B
5．(2011· 天津)一个几何体的三视图如 图所示(单位：m)则该几何体的体积 为________m3. 解析 由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、 宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高 1 为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋ π×3＝6＋π(m3)． 3 答案 6＋π
当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和
三角形，只有球满足任意截面都是圆面． 答案 C
3．(2011· 陕西)某几何体的三视图如图所示， 则它的体积是( )．
2π π A．8－ B．8－ 3 3 2π C．8－2π D. 3 解析 圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体
2
1 2 2 积减去圆锥体积，即V＝2 ×2－ 3 ×π×1 ×2＝8－ 3 π，正确选 项为A. 答案 A
基础梳理 1．多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都 互相平行 ，上下底面是 全等 的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 公共顶点 角形． (3)棱台可由 平行于底面 的平面截棱锥得到，其上下底面是相 似多边形． 的三
2．旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由矩形绕 一边所在直线 旋转一周得到． (2)圆锥可以由直角三角形绕 一条直角边所在直线 旋转一周得 到． (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰所在直线 旋转一周或等腰梯 形绕 上下底面中心所在直线 旋转半周得到，也可 由 平行于 底面的平面截圆锥得到． (4)球可以由半圆面绕 直径 旋转一周或圆面绕直径旋转半周得 到．
(2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的 z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线 段，在直观图中仍平行于z′轴且长度 不变 ．
一个规律 三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图 和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一 样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界 线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
解析 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不 到圆锥．命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③ 对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行． 答案 B
考向二
空间几何体的三视图
【例2】►(2011· 新课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图 和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )．
[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．
解析 由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半 圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于 底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D. 答案 D
(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上 的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图 形． (2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用 实线表示，挡住的线要画成虚线．
直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即 可得到平面图形的面积是其直观图面积的2 2 倍，这是一个较 常用的重要结论．
【训练3】 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面 图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图 形是( )． B．矩形 D．一般的平行四边形
三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见 的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何 体举特例解决．
【训练1】 以下命题： ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数为( A．0 B．1 C．2 D．3 )．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)下列说法正确的是( )．
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 答案 D
2．(2012· 杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面 都是圆面，则这个几何体一定是( A．圆柱 C．球体 解析 B．圆锥 D．圆柱、圆锥、球体的组合体 )．
考向一 空间几何体的结构特征 【例1】►如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱 锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是 ( A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 [审题视点] 可借助几何图形进行判断． )．
【试一试】(2011· 山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给 定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右 图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆 柱，其正(主)视图，俯视图如右图．其中真命题的个数是 ( A．3 B．2 C．1 D．0 )．
[尝试解答] 如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相 同，故选A.
阅卷报告 9——忽视几何体的放置对三视图的影响致错 【问题诊断】 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三 个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能 不同，有的考生往往忽视这一点. 【防范措施】 应从多角度细心观察.
【示例】►(2010· 新课标全国)一个几何体的正视图为一个三角 形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有 可能的几何体前的编号)． ①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆 柱． 错因 忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③. 实录 ①②⑤
正解 ①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边 形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面 放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④ 对于四棱柱，不论怎样放置， 其正视图都不可能是三角形； ⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论 怎样放置，其正视图也不可能是三角形． 答案 ①②③⑤