（ 2007 至 2008 学年 第__2__学期 ）课程名称： 概率统计 考试时间： 110 分钟 课程代码： 7100050 试卷总分： 100 分考试形式： 闭卷 学生自带普通计算器: 是一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1．假设A 、B 为两个互斥事件，则下列关系中，不一定正确的是（ ）． A ．)()()(B P A P B A P +=+ B ．)(1)(B P A P -= C ．0)(=AB PD ．0)|(=B A P2．设X 服从区间[70,80]上的均匀分布，则)7460(≤<X P 等于（ ）． A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73．设随机变量X 服从指数分布，则随机变量X 的分布函数（ ）． A ．是连续函数； B ．恰好有一个间断点； C ．是阶梯函数； D ．至少有两个间断点. 4．若随机变量),(~2σμN X ，)1,0(~N Z ，则（ ）． A ．σμ-=Z X B ．μσ-=Z XC ．μσ-=X ZD ．σμ-=X Z5. 设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）．A ．)(~/21n t n X -； B ．)1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-；C ．)1,0(~/21N nX -； D ．)(~)1(41212n X ni i χ∑=-.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为2．设函数⎩⎨⎧<≥-=-00,)(2x x be a x F x 为连续型随机变量X 的分布函数，则=a =b ．3. 设X 为总体)4,3(~N X 中抽取的样本(4321,,,X X X X )的均值, 则)51(<<-X P ＝ .4．设1=DX ，4=DY ，相关系数12=XY ρ, 则=),(Y X COV ______ 5. 设某种保险丝熔化时间),(~2σμN X （单位：秒），取5=n 的样本，得 样本均值和方差分别为02.0,152==S X ，则μ的置信度为90%的置信区间 为 .三、（4分）已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84%，超过70岁以上的概率的63%。

试求任一刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少？四、（8分）一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。

不放回抽取，每次任取一个，共取两次， （1）求：第二次才取到新球的概率;（2）发现其中之一是新球，求：另一个也是新球的概率.五、（6分）已知随机变量X 的分布函数为F(x)=+∞<<∞-+x x ,arctan 121π， 求：（1）)31(≤<-X P ； （2）常数C ，使41)(=>C X P .六、（12分）．某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。

设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。

试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差。

七、（12分）设随机变量(,)X Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=他其0,20),(xy x A y x f 求 (1) 常数A ; (2) 讨论X 与Y 的独立性. ; (3) 讨论X 与Y 的相关性.八、(8分) 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2σμN X（单位：kg ）. 已知8=σ kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值2.575=x kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （显著性水平%5=α）九、(8分) 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2μN . 某日抽取5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用显著性水平%10=α作假设检验.十、(8分) 已知随机变量X 的密度函数为(1)(5)56()(0)x x f x θθθ⎧+-<<=>⎨⎩其他，其中θ均为未知参数，求θ的极大似然估计量.十一、 证明题 （4分）设C B A ,,是不能同时发生但两两独立的随机事件，且ρ===)()()(C P B P A P ， 试证：ρ可取的最大值为1/2.附表： 标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表6103.0)28.0(=Φ 488.9)4(205.0=χ 1318.2)4(05.0=t975.0)96.1(=Φ 711.0)4(295.0=χ 0150.2)5(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ 071.11)5(205.0=χ 5332.1)4(1.0=t 9938.0)5.2(=Φ 145.1)5(295.0=χ 4759.1)5(1.0=t一、(15分)选择题参考答案及评分标准：评分标准：选对一项得3分，不选或选错得0分。

参考答案：1.B2.B3.A4.D5.C 二、(15分)填空题参考答案及评分标准：评分标准：对一题得3分。

参考答案：1. 1/22； 2，=a 1 =b 1 ； 3，0.9772； 4， 24; 5，[14.574 ,15.426]； 三、(4分)参考答案及评分标准： 评分标准：条件概率75.04384.063.0===P 四、(8分)参考答案及评分标准：评分标准：本题共2个小题，每小题得4分，不答或答错得0分解： 设 i A ={第i 次取得新球}，i=1,2. (1) 设C={第二次才取得新球}，有12C A A =12121464()()()(|)10915P C P A A P A P A A ===⨯=，(2) 设事件 D = {发现其中之一是新球}，E = {其中之一是新球，另一个也是新球}12121651()()()(|)1093P E D P A A P A P A A ===⨯=121212121121()()()()1()(|)()(|)31644613310910915P D P A A P A A P A A P A P A A P A P A A =++=++=+⨯+⨯=()1/35(|)()13/1513P ED P E D P D ===五、(6分)参考答案及评分标准：评分标准： 1. 32； 2. c= -1六、(12分)评分标准：每小题4分。

参考答案：解：(1) 途中遇到红灯的次数)4.0,3(~B X 。

其概率分布如下表：(2) EX ＝1.2，(3) DX ＝0.72七、(12分)评分标准：第一小题2分，第二小题6分，第三小题4分。

参考答案：解：(1) .4/1=A(2)X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰-∞∞-他其0202/)4/1(),()(x x dy dy y x f x f x xX Y 的边缘密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他02221)(y y f Y ；),()()(y x f y f x f Y X ≠∴X 与Y 不独立(３) ⎰==202,3/4)2/()(dx x X E⎰⎰==-20,0)4/()(xxdy y dx Y E⎰⎰==-20,0)4/()(xx dy y xdx XY E 0)()()(),c o s (=-=Y E X E XY E Y X 所以X 与Y 不相关.八、(8分)评分标准：第一小题共有4个要点：假设， 查表， 计算，作答，答对一个得2分，答错或未答得0分，…… 参考答案：解： 假设570:,570:10≠=μμH H (2分)检验用的统计量 )1,0(~/0N nX U σμ-=，拒绝域为 96.1)1(025.02==-≥z n z U α. (4分)96.106.21065.010/85702.5750>==-=U ，落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即不能认为平均折断力为570 kg . [ 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U , 落在拒绝域外， (6分)故接受原假设0H ，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (8分)九、(8分)评分标准：第一小题共有4个要点：假设， 查表， 计算，作答，答对一个得2分，答错或未答得0分，…… 参考答案：解：假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H (2分)[22122079.0:,79.0:≠=σσH H ]拒绝域为 488.9)4()1(205.022==->χχχαn 或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn （4分) 41.1=x检验用的统计量 )1(~)(222512--=∑=n X Xi iχσχ，488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内，[711.0086.06241.0/0538.02<==χ,落在拒绝域内，] （6分) 故拒绝原假设0H ，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (8分)十．(8分) 已知随机变量X 的密度函数为(1)(5)56()(0)x x f x θθθ⎧+-<<=>⎨⎩其他，其中θ均为未知参数，求θ的极大似然估计量.评分标准：第一小题共有4个要点，答对一个得2分，答错或未答得0分，……参考答案：解: 似然函数 11()(;)(1)(5)nnni ii i L f x x θθθθ====+-∏∏,故1151ln ()ln(1)ln(5)ln ()ln(5)01ˆ1ln(5)ni i ni i ii L n x d L nx d nXθθθθθθθθ====++-=+-=+=---∑∑∑的极大似然估计量为十一. 证明题 （4分） 参考答案：证明：)()(C A C AB ⋃⊂⋃⇒)()(C A P C AB P ⋃≤⋃⇒ ⇒)()()()()()(AC P C P A P ABC P C P AB P -+≤-+⇒ )()()()()()()(C P A P C P A P C P B P A P -+≤+即 222ρρρρ-≤+ ⇒022≥-ρρ 解此不等式得 ]2/1,0[∈ρ，所以ρ可取的最大值为1/2.。