第九章欧氏空间习题答案第九章欧氏空间习题答案一、填空题1. 0；2. i x；3. 123'b A b b ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 5. A ；6. (2,2,1)-；7. 2π；8. 6±；9. 2k >；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 0；12. 它们的维数相同；13. A ，1；14. 1-；15. 正交；16. 3π；17. 正定的。

二、判断题1-5 ××√√√ 6-10 √×√√√ 11-15 √√√×√ 16-20 √√×√× 三、选择题1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 四、计算题1. 由220212(2)(1)(4)002E A λλλλλλλ---=--=+--=，故特征值为2,1,4-。

当2λ=-时，有12123234202320230x x x x x x x --=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩，则基础解系为11(,1,1)'2ξ=-，单位化为1122(,,)'333η=-；当1λ=时，有1213232022020x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，则基础解系为21(1,,1)'2ξ=-，单位化为2212(,,)'333η=-；当4λ=时，有12123232202320240x x x x x x x -=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，则基础解系为31(1,1,)'2ξ=-，单位化为3221(,,)'333η=-。

则令122333212333221333T ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎝⎭，为正交阵，有1214T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

2. （1）111111t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，由于二次型正定，则2300320t t t t >⎧⎪>⎨⎪-->⎩，即2t >。

（2）当1t =时，则111111111A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭。

由2112111(2)(1)0111E A λλλλλλ----=---=-+=--，特征值为2,2,1-。

故标准形为22212322f y y y =+-。

3. 二次型矩阵为202023b A b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

由于正交变换得到的标准形为22212325f y y y =++，则A 的特征值为1,2,5，故23125a ++=++，12510A =⨯⨯=可得3,0a b ==。

当1λ=时，有123230220230x x x x x -=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩，则基础解系为1(0,1,1)'ξ=-，单位化为1(0,,22η=-； 当2λ=时，有23232020x x x x --=⎧⎨--=⎩，则基础解系为2(1,0,0)'ξ=，单位化为2(1,0,0)'η=；当5λ=时，有1232330220220x x x x x =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩，则基础解系为3(0,1,1)'ξ=，单位化为3(0,22η=。

则令01000T ⎛⎫ ⎪ =⎝，为正交阵，有1125T AT -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

4. 设属于特征值1的特征向量为123(,,)'x x x α=，则1(,)0αα=，即230x x +=，基础解系为2(1,0,0)'α=，3(0,1,1)'α=-。

把2(1,0,0)'α=，3(0,1,1)'α=-单位化为2(1,0,0)'β=，3(0,)'22β=-。

1(0,1,1)'α=单位化为1(0,22β=。

令010022022T ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪ - ⎝⎭，为正交阵，有1111T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

进一步得到1110010011010A T T --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭。

5. 当j k ≠时，则22200011(cos ,cos )cos cos cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==+--=+-⎰22200011(sin ,sin )sin sin cos()cos()02()2()||jx kx jx kxdx j k x j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰22200011(sin ,cos )sin cos sin()()02()2()||jx kx jx kxdx j k x sin j k x j k j k πππ==-++-=+-⎰故对于任何整数，该集合均为正交向量组。

6. 令2R 的一组基为12(1,0),(0,1)εε==，则有112212211212((,),(,))22x y x y x x x y x y y y =--+，可得在这组基下的度量矩阵为2112A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭。

由(1)(3)E A λλλ-=--，特征值为1,3。

当1λ=时，有12120x x x x -+=⎧⎨-=⎩，则基础解系为1(1,1)'ξ=，单位化为1)'22η=； 当3λ=时，有12120x x x x +=⎧⎨+=⎩，则基础解系为2(1,1)'ξ=-，单位化为2('22η=-令2222T ⎛⎫- ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正交阵，使得113T AT -⎛⎫= ⎪⎝⎭。

则对角阵不是单位阵。

7. 令222(,,)3222f x y z x y z xy xy yz =+++++对应的二次型矩阵为111131111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）正交变换：由111131(1)(4)0111E A λλλλλλλ----=---=--=---，故特征值为0,1,4。

当0λ=时，有(0)0E A x -=，则特征向量为1(1,0,1)'ξ=-，单位化为1,0,22η=-； 当1λ=时，有()0E A x -=，则特征向量为2(1,1,1)'ξ=-，单位化为2'η=； 当4λ=时，有(4)0E A x -=，则特征向量为3(1,2,1)'ξ=，单位化为3(,)'636η=。

则令2360332T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ - ⎝⎭，为正交阵，有1014T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 则标准形为22(,,)44f x y z ξη=+=。

（2）平移变换：22222(,,)2()()()32f x y z x x y z y z y z y z yz =++++-++++ 即22(,,)()2f x y z x y z y =+++，作非退化线性替换123x y z y z ξξξ=++⎧⎪=⎨⎪=⎩，即2212(,,)24f x y z ξξ=+=。

8. 124(,,)(24,222,42)(,,)222421x y z x y z x y z x y z x y z σ⎛⎫ ⎪=++-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭。

不妨设(,,)x y z α=，则A σαα=，其中124222421A ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭设3R 的一组标准正交基为123,,εεε，则123123(,,)(,,)A σεεεεεε=。

因为A 是对称矩阵，则σ是对称变换。

由2(3)(6)0E A λλλ-=+-=，故特征值为3,3,6--。

当3λ=-时，有(3)0E A x --=，则特征向量为12(1,2,0)',(0,2,1)'ξξ=-=-，单位化为12(ηη==； 当6λ=时，有(6)0E A x -=，则特征向量为3(2,1,2)'ξ=，单位化为3212(,,)'333η=。

则令23132053T ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，为正交阵，则存在一组标准正交基123,,γγγ使得123123(,,)(,,)T γγγεεε=，则有1336T AT --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。

9. 设3123(,,)x x x α=且13(,)0αα=，23(,)0αα=，则12132020x x x x -=⎧⎨+=⎩，即可取3(1,2,2)α=-。

把123,,,ααα正交单位化如下 11(2,1,0)βα==-，2122111(,)24(,,1)(,)55αββαβββ=-=。

11111,0)ηββ==-，222124(,,1)355ηββ==，33311(1,2,2)3ηββ==-。

123,,ηηη为3R 的一组标准正交基。

10. 由2(3)0E A λλλ-=-=，故特征值为0,0,3。

当0λ=时，有()0A x -=，则特征向量为12(1,1,0)',(1,0,1)'ξξ=-=-，属于特征值0的全部的特征向量为1122k k ξξ+，其中12,k k 为任意常数。

单位化为12((ηη==； 当3λ=时，有(3)0E A x -=，则特征向量为3(1,1,1)'ξ=，单位化为3(,333η=。

则令263063T ⎛ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为正交阵，则存在一组标准正交基123,,ηηη使得123123(,,)(,,)T ηηηεεε=，则有1003T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

五、证明题1.''''''A A B A A B E A B B B A B B A B A A B +=+=+=+=+=-+，即0A B +=。

2. 令123(,,)x x x α=，123(,,)y y y β=，则1323123(,2,2)A x x x x x x x α=+--+，1323123(,2,2)A y y y y y y y β=+--+。

则11312232132333(,)22A x y x y x y x y x y x y x y αβ=++-+-+，11312232132333(,)22A x y x y x y x y x y x y x y βα=++-+-+，即(,)(,)A A αββα=，则A 是一个对称变换。

3. 必要性是显然的。

下面来证明充分性。

由于ker 0(,)0ασσασασα∈⇔=⇔=，即(,)00ααα=⇔=，因此ker 0σ=，从而σ是单射，又由于存在双射:'V V σ→，并且,V αβ∀∈有(,)(,)αβσασβ=。

因此σ欧氏空间V 与'V 一个同构映射。

4. 不妨设12,,,s ααα是向量组12,,,m ααα的一个极大线性无关组，下证12,,,s βββ是向量组12,,,m βββ的一个极大线性无关组。