x2 f (x)dx
x1
性质3：概率密度函数在整个取值区间 积分为1，即
Hale Waihona Puke f (x)dx 1 1.3.6 二维随机变量及其分布
1.二维随机变量及其分布函数
定义 设随机试验E的样本空间 S={e}，X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样 本空间S上的两个随机变量，由X和 Y构成的矢量(X,Y)称为二维随机矢 量或二维随机变量。
定义 设(X,Y)为二维随机变量，对
F于XY任( x意, 实y)数x和Py{，X令 x,Y y}
则称FXY(x,y)为二维随机变量(X,Y) 的联合分布函数，或称二维分布函 数。
二维分布函数FXY(x,y)的性质： 性质1：
0 FXY (x, y) 1
性质2：对于任意固定的x和y，分 布函数满足
定义 设X、Y为两个随{机X变量，x}如 果{Y对任意y实} 数x和y，事件
P{X和 x,Y 相y}互独P立{X，即 x}P{Y y}
则称X和Y相互独立。
5.条件分布
在 X x的条件下，随机变量Y的条件 概率分布函数和条件概率密度函数可
分别表示为
FY
(y
|
x)

FXY ( x, y) FX ( x)
有时简称为密度函数。
对于离散随机变量，其概率密
度函数为
f (x) dF(x)
dx
i
pi ( x xi )
根据概率分布函数的性质，可得到 概率密度的性质：
性质1：概率密度函数非负
f (x) 0
性质2：概率密度函数在(x1,x2)区间 积分，得到该区间的取值概率
P{x1 X x2}
fY ( y | x)
f XY ( x, y) fX (x)
1.3.7 n维随机变量及其分布
( X1, X 2 ,, X n )
定义 n维随机变量
F (的x1n, 维x2（,联,合x）n )分布函数为 P{X1 x1, X 2 x2,, X n xn}
f XY
( x,
y)

2 FXY ( x, xy
y)
为(x,y)的二维联合概率密度，简称为 二维概率密度。
二维概率密度具有以下性质：
性质1：
fXY (x, y) 0
性质2：

f XY ( x, y)dxdy 1
性质3：
P{x1 X x2, y1 Y y2}
随机变量及其概率分布
1.3.1 随机变量的概念
E1抛硬币：可能出现正面或反面； E2从一批产品中任取10件，抽到的废品 数可能是0,1,2,…,10中的一个数； E3掷骰子：可能出现1,2,3,4,5,6点
定义 设随机试验的样本空间为S＝{ei}， 如果对样本空间的每一个元素ei，都有一 实数X(ei)与之对应，对所有的元素
则称FX (x)、 FY(y)分别为(X,Y)关于X和Y 的边缘分布函数，简称为X和Y的边缘 分布函数。

将 f X ( x) f XY ( x, y)dy

fY ( y) f XY ( x, y)dx
分别称fX(x)和fY(y)为X和Y的边缘概 率密度函数。
4.随机变量的独立性
对于离散随机变量的分布函数，除 满足以上性质外，还具有阶梯形式， 即

F ( x) P{X xi}U ( x xi )
i 1

piU ( x xi )
i 1
1.3.5 概率密度函数
概率密度函数定义为概率分布函数 F(x)对x的导数，即
f (x) dF(x) dx
F(x1) F(x2)
则有
性质3：
P{X x} 1 F(x)
性质4：随机变量X在区间
x1 X x2
上取值的概率为
P{x1 X x2} F ( x2 ) F ( x1)
性质5：
F() 0, F() 1
性质6：F(x)右连续，即
F(x) F(x)
e S，就得到一个定义在空间S上的实单 值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简写为 X。
1.3.2 离散型随机变量及其分布律
如果随机变量X只能取有限个或可 列无穷多个数值，则称X为离散型随机 变量。
定义 设X为一个离散型随机变量，它所有可能取的值为 xk(k=1,2,…)，而pk (k=1,2,…)是X取值xk时相应的概率，即
如果二维随机变量的可能取值为有限 个或可列无穷个，则称(X,Y)为二维离 散型随机变量。
对于二维离散型随机变量，有
P{X xi ,Y y j} pij
pij称为(X,Y)的联合概率分布列，简称 为分布列。
2.二维概率密度
定义 若二维分布函数FXY(x,y)连续并存 在二阶偏导数，则定义
或写成 P{X xk } pk (k 1,2,)
则或称称上为式X的或分表X布格律表。示x的1 函数x为2 离散…型随机x变k 量X…的概率分布，
P
p1
p2
…
pk
…
1.3.3 连续型随机变量
对于可以在某一区间内任意取值的 随机变量，它的值不是集中在有限个 或可列无穷个点上，这就是连续型随 机变量。
FXY (, y) 0 , FXY (x,) 0
FXY (,) 0 , FXY (, ) 1
性质3：对于每个变量，FXY(x,y)都是单 调非减的，即
当y2>y1时
FXY (x, y2 ) FXY (x, y1)
当x2>x1时
FXY (x2 , y) FXY (x1, y)
1.3.4 概率分布函数
定义 设X是一随机变量，x是任意实数， 函数
F(x) P{X x} x (,)
称为X的概率分布函数,简称为分布函数。 （对连续和离散随机变量都适用）
根据分布函数的定义，可得下面的 基本性质：
性质1：满足
0 F(x) 1
当性质2：F(x)是x单1 调x非2减函数，即

x2 x1
y2 y1
fXY (x, y)dxdy
例：设(X,Y)的e联合( x密y)度函x数 0, y 0
f XY ( x, y)
0
P{0 X 1,0 Y 1}
求
3.边缘分布
定义 设FXY(x,y)为二维随机变量(X,Y)的 分布函数，令
FX (x) F (x,) FY ( y) F (, y)