nytgU nytgU (10)
此式即为理想光学系统 的拉赫不变量公式。
3.5 理想光学系统的放大率
一、垂轴放大率
1.定义：共轭面像高与物高之比
y
y
2.表达式：
根据牛顿公式,得以焦点为原点的放大率公式
y f x (1)
y x f
根据高斯公式,得以主点为原点的放大率公式
fl (2)
f l
根据两焦距的关系，可得 nl (3)
nl
结论：此式与单个折射球面和共轴球面系统的放 大率公式一致。
④当系统处于同一种介质中时
l (4)
l
结论：垂轴放大率随物体位置不同而不同，在不同 共轭面上，垂轴放大率不同；在同一共轭面上， 放大率是一个常数。
二、轴向放大率
1.定义：轴上像点移动微小距离与物点移动的微小 距离之比。 dl dx dl dx
三、由已知共轭面和共轭点确定一切物点的像点 a.已知两对共轭面的位置和垂轴放大率
b.已知一对共轭面的位置和垂轴放大率以及两对共轭 点的位置
3.2理想光学系统的基点和基面
1.物像方焦点、焦平面 2.物像方主点、主平面， 3.物象方焦距 4.单个折射球面的主平面 5.单个折射球面的焦距 6.单个球面反射镜的主平面和焦距
像距：以像方焦点F为原点,到像点的距离(F'A')为像 距,用x’表示。
牛顿公式：
用f和f ' 表示理想光学系统物、象方焦距，用
x和x'表示物体和像位置。
三角形ABF和三角形MHF相似，得：
y f
yx
三角形A’B’F’和三角形H’N’F’相似，得：
y x
y f xx ff
————此式即为牛顿公式。
2.设一焦距为50mm的负透镜在空气中，在其前 面设置一高度为50mm的物于 4 f ,3 f ,2 f 和1.5 f 处。请分别用高斯公式和牛顿公式求其像的 位置和大小。
3.设一焦距为30mm的负透镜在空气中，在其后 面0.5 f ,1.5 f ,2.5 f和3.5 f 处分别置一高度为 60mm的虚物，请分别用高斯公式和牛顿公式 求其像的位置和轴向放大率。
f n 和 n 1
fn
n
y f x
y x f
x f (13)
f x
四、三种放大率的关系
n 2
n
n1 n
(14)
结论：与单个折射球面和共轴球面系统的三种放大 率关系一样。
f x (1) x f
dx x (5) dx x
x f (13) f x
焦距的正负是以相应的主点为原点来确定 的，如果由主点到焦点的方向与光线的传 播方向相同，则焦距为正，否则为负。
焦距的大小可由入射高度h和物、像方孔径角 给出。
像方焦距：f h / tgU'
物方焦距：f h / tgU
A
E1
Sk
R
S1
u
E1
u'
F
O1 H H
像方焦距为负的系统——举例。
第3章 理想光学系统
理想光学系统的定义和成像特性 理想光学系统的基点和基面 物象位置关系 三种放大率、拉赫公式和两种焦距间的关系 理想光学系统的图解求像 理想光学系统的光焦度 光学系统的组合 望远系统 透镜
教学目标
掌握理想光学系统的物像关系、基点和基 面。
牢固掌握解析法和图解法求像的方法。 牢固掌握理想光学系统的双光组组合和透
3.2理想光学系统的基点和基面
1.焦点、焦平面
A
E1
S1
F
O1
Sk
R
E1
Ok
F’
F’点是物空间无限远轴上点的共轭像点，称为理想 光学系统的像方焦点（或第二焦点或后焦点）。
F点是像空间无限远轴上点的共轭像点，称为光学 系统的物方焦点（或第一焦点或前焦点）。
注意：这里F和F’不是一对共轭点。
过F’点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面（或 后焦平面）。
3.6 节点和节平面
在理想光学系统中，还存在一对角放大率为1的
3.平面成平面像
物空间的每一个平面，在像空间必有唯一的一个 平面与之相对应，这样的两个对应平面称为物象 空间的共轭面。
结论：符合物象空间点对点、线对线、平 面对平面的像称为理想像、完善像或高斯 像。
二、共轴理想光学系统的成像特性
共轴光学系统具有轴对称性 即轴上点成像在轴上。
共轴光学系统具有面对称性 即位于过光轴的某截面内（子午面）的物点对应的 像点，必位于同一平面内。 过光轴任一截面内的成像性质是相同的
若光学系统是一个反射面，即(n=-n’)，则两 焦距的关系为（ f ）f 。例如：球面反射镜
结论：若光学系统中包含有K个反射面，则两 焦距关系为：
f (1)k1 n
(9)
f
n
F’
双曲面副镜 抛物面主镜
例如：长焦距反射式天文望远镜。
2.物象位置关系公式拓展
f n fn
f f 1 l l
n n n n l l f f
单个折射球面的物像方焦距 f nr , f nr
n n
n n
单个折射球面的物像位置关系公式 n n n n
l l r
说明：单个折射球面物像关系公式具有普遍性。
二、理想光学系统的拉赫公式
两焦距的关系式
f n fn
带入理想光学系统满足的公式 yftgU yf tgU
物平面垂直于光轴，像平面也垂直于光轴。
位于垂直于光轴同一平面内的物体，其像的几 何形状和物完全相似，也就是说，在整个物平
面上，无论什么位置，垂轴放大率为常数。
注：当光学系统物象空间满足理想成像关系时， 一般来说，物像并不相似。在共轴理想光学系统 中，只有垂直于光轴的平面才具有物像相似的性 质。
2.用近轴区成像近似地表示实际光学系统所成像 的位置和大小。在设计光学系统或者分析系 统的工作原理时，往往首先需要近似地确定像 的位置和大小。
为什么要定义理想像？
如果要成像清晰，必须一个物点成像为一个像 点
3.1理想光学系统的基本特性
主要内容：
理想光学系统的成像特性 共轴理想光学系统的成像特性 由已知共轭面和共轭点确定一切物点的像点
2
结论：反射球面的焦点位于球心和顶点的中间
球面反射镜的主平面：
nlH nlH
1 nlH
nlH
n n
结论：球面反射镜的物像方主平面重合，
lH 11 l l
l
H
2 r
与球面顶点相切。
lH lH 0
3.3 理想光学系统的物像关系式
一、牛顿公式
以物、像方焦点为原点来确定物和像的位置。
物距：以物方焦点为原点，到物点的距离(FA)为物 距,用x表示。
fl
f l
fl′2 α = - f ′ l2
α = n′β2 ( 9 ) n
结论：理想光学系统的沿轴放大率恒为正值，物、 像移动方向相同。
三、角放大率
1.定义：共轭面的轴上点发出的入射光线通过 光学系统后，出射光线的像方孔径角的正切 值与入射光线的物方孔径角的正切值之比。
tgU
tgU
2.表达式
2.表达式：对牛顿公式或高斯公式微分，可得
dx x (5)
xx ff
dx
x
f f 1 微分 l l
dl dl
fl 2 f l 2
(6)
nl2 nl 2
(7)
结论：此式与单个折射球面和共轴球面系统的放 大率公式一致。
3.当系统处于同一种介质中时
l′2 α = l2 (8)
4.两种放大率之间的关系
4.单个折射球面的主平面
根据主平面定义，有
nlH 1 (1)
nl H
两主平面是一对共轭面，满足物像位置关系公式
n n n n (2)
lH lH
r
lH 0, lH 0 (3)
O
C
HH
'
结论：单个折射球面的两个主点与顶点重合，其物、 像方主平面为过球面顶点的切平面。
5.单个折射球面的焦点位置
二、高斯公式
以物、像方主点为原点来确定物和像的位置。 物距：物方主点到物点的距离，用l表示。 像距：像方主点到像点的距离，用l'表示。
高斯公式：
x=l- f
x′= l′- f ′
xx ff
f f 1 l l
垂轴放大率：
f f
x l f
x l f
f
f
f f 1 l l
fl (2)
f l
dl′ fl′2 α = dl = f ′ l2 ( 6 )
l γ = l′(11)
nl′ β = n′l ( 3)
nl′2 α = n′l2 ( 7 )
作业
1.设一焦距为30mm的正透镜在空气中，在透镜 后面 1.5 f ,2 f ,3 f 和4 f 处分别置一高度为 60mm的虚物，请分别用高斯公式和牛顿公式 求其像的位置和大小。
像方焦平面是物方无限远垂轴平面的共轭像面。
由物方无限远射来的任何方向的平行光束，经光学 系统后会聚于像方焦平面上一点。
过F’点作垂直于光轴的平面，称为像方焦平面（或 后焦平面,或第一焦面）。
物方焦平面是像方无限远垂轴平面的共轭像面。
由光学系统物方焦平面上任一点发出的光束，经光 学系统后平行出射。
fl
f l
3.4 理想光学系统两焦距之间 的关系式及拉赫不变量
主要内容： 1.两焦距关系：讨论在同一介质中、光学系
统包括反射面情况； 2.物象关系公式拓展 3.拉赫不变量
一、两焦距之间的关系
1.两焦距关系
直角三角形AQH和A'Q'H'