《热力学•统计物理》复习材料答案一、填空题：1. 热力学中所特有的状态参量为 温度 ，它是实现两系统达到热平衡的充分且必要条件。

2. 整个系统在物理、化学性质上都均匀一致的系统称为 均匀系统 。

3. 热力学第一定律的数学表达式是为 dU=dQ+dW 。

4．热力学第二定律的数学表达式是TdQ dS ≥。

5. 体系由液体和饱和蒸汽组成，此系统包含 二 相。

6．当独立变量为S 、p 时，特性函数是 H 。

7. 一个孤立系统有α相和β相，若系统已达到热平衡和力学平衡，但β相物质迁移到α相，则化学势满足关系β相化学势大于α相化学势（ ） 。

8．一个系统在压强和温度不变的情况下，为了判别此系统是否已达到平衡态，可采用的判据为 G （吉普斯函数） 。

9.判断一个孤立系统是否已达到平衡态，可采用的判据为 S （熵） 。

10．一个系统在体积和温度不变的情况下，为了判别此系统是否已达到平衡态，可采用的判据为 自由能 。

11．固相、液相之间的转变为_____一_______级相变。

12．气液在临界点的转变为_____二____级相变。

13．体系由三种气体按任意比例混合而成，该系统的独立强度参量数目为 4 。

14. 根据吉布斯相律，3元二相系的自由度为 3 。

15. 一级相变的克拉珀龙方程的表达式为)(αβv v T LdT dp -=。

16. 对于费米系统，给定分布{}l a 对应的微观状态数为 。

17. 对于玻色系统，给定分布{}l a 对应的微观状态数为 。

)!1(!)!1(--+∏l l l l l a a ωωβα)!(!!l l l l L a a -∏ωω18. 对于玻尔兹曼系统，给定分布{}l a 对应的微观状态数为 。

19. 等概率原理的内容是 对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率都是相等的。

20. 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a 、b 和c 中，一个粒子处在状态a ，一个粒子处在状态b ，如果它们是费米粒子，则这一分布出现的概率是 1/3 。

21．两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a 、b 和c 中，一个粒子处在状态a ，一个粒子处在状态b ，如果它们是玻耳兹曼粒子（即经典粒子），则这一分布出现的概率是 1/9 。

22. 两个全同粒子分布在相同能级的三个不同状态a 、b 和c 中，一个粒子处在状态a ，一个粒子处在状态b ，如果它们是玻色子，则这一分布出现的概率是 1/6 。

23. 玻尔兹曼系统的最概然分布的形式是l e a l l βεαω--=。

24. 玻色系统的最概然分布的形式是。

25. 费米系统的最概然分布的形式是 。

25. 当满足1>>αe 或者1<<lla 条件时，玻色分布和费米分布趋向于玻尔兹曼分布。

26. 粒子遵从玻尔兹曼分布，能量表达式为c bx ax p p p mz y x +++++=2222)(21ε，其中a 、b 、c 为常数，则粒子的平均能量为c ab KT +-42227. 利用能量均分定理求空窖内辐射场中具有一定波矢k 和一定偏振的单色平面波的平均能量是 KT 。

28. 平衡状态下光子气体的化学势μ等于 0 。

29. 系综的概念是指由大量结构完全相同、处于给定的相同宏观条件下彼此独立lal l l B M a N ω∏∏=Ω!..1+=+le a ll βεαω1-=+l e a ll βεαω的假想系统的集合，其中每一个系综都与实际讨论的真实系统有相同的哈密顿，但有不同的微观状态，这种系统的集合叫统计系综。

30.玻色－爱因斯坦凝聚是粒子在动量空间的凝聚。

31. 对一个有N个分子组成的某经典气体系统，Γ空间中一个代表点表示系统在某一时刻的微观运动状态。

32. 正则分布是具有确定的N、T、V宏观条件的系统的分布函数。

μ33. 巨正则分布是具有确定的T、V、宏观条件的系统的分布函数。

34. 微正则分布是具有确定的N、E、V宏观条件的系统的分布函数。

二、证明题1．根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交.证明：假设两条绝热线可以相交,如图,可由这两条绝热线与一等温线构成一个循环.V可令一可逆热机以该循环工作,即:由初态a出发经历等温膨胀过程到达b,在此过程中热机从热源吸热且对外界作功,再由b经历绝热膨胀过程到达c, 在此过程中热机对外界作功,最后,由c经历绝热压缩过程返回初态a.在整个循环中,热机从单一热源吸热使之完全变成有用功(由三条线围成的封闭图形之面积)而不引起其它变化,这就违背了开氏说法.若开氏说法正确,则两条绝热线不能相交. 2．试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落。

证明：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数S P T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 和HP T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 描述。

0)()(>∂∂-∂∂H S pTp T 令 )],(,[S p H p T T =01)()()()(>⋅=∂∂∂∂=∂∂-∂∂V C p H H T p T p T pS p H S 绝热膨胀制冷效果更好。

3. 有两个相同的物体，热容量为常数，初始温度同为i T 。

今令一制冷机在此两物体之间工作，使其中一个物体的温度降到2T 为止。

假设物体维持在定压下，并且不发生相变。

试根据熵增加原理证明，此过程所需要的最小功为)2(222i i p T T T T C W -+=最小。

证明：经过一工作循环，一物体从初始温度为T 1降为T 2，放出的热量值和熵变分别为：)(21T T C Q P -＝放)l n (S 121T TC P ＝∆另一物体从初始温度为T 1升为T 3（T 3为未知量）吸收的热量值和熵变分别为： )(13T T C Q P -＝吸)ln(S 132T TC P ＝∆热机工作物质恢复原状，熵变为0。

根据热力学第一定律有：)2(123T T T C Q Q W P -+=-=放吸 根据热力学第二定律有： 021≥∆+∆S S1)ln(21322132≥⇒≥⇒T T T T TT C P2213T TT ≥⇒所以此过程所需的最小功为：)2(12221min T T T T C W P -+= 4. 求证μ-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂V T n U ,nV T T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=μ证明：自由能TS U F -=是以n V T ,,为自变量的特性函数，求F 对n 的偏导数，有VT V T V T n S T n U n F ,,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ （1） 但自由能的全微分dn pdV Sdt dF μ---=可得V T n F ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μ， V T n S T ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=-n V T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ （2） 代入（1），即有V T n U ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-μ=-T nV T ,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂μ5. 固体含有A 、B 两种原子．试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为[]()[]()()[]x x x x Nk x N Nx N k S --+-=-=1ln 1ln !1!!ln其中N 是总原子数，x 是A 原子的百分比，(1一x )是B 原子的百分比．注意x <1．上式给出的熵为正值．证明：A 、B 两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于Nx 个A 种原子在N 个格点随即分布的状态数：[]()[]!1!!x N Nx N C NxN-=Ω所以混合熵[]()[]()[]{}!1ln )!ln(!ln !1!!lnln x N Nx N k x N Nx N k k S ---=-=Ω=当N 很大时，利用公式()得,1ln !ln -≈m m m()()()()[]{}()()[]x x x x Nk Nx N x N Nx Nx N N k S --+-=-------≈1ln 1ln 1ln 11ln 1ln证毕6. 试根据公式Va P Lll∂∂-=∑ε证明，对于非相对论粒子 ()222222212z y x n n n L m m P ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε，（ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为()22222,,2212z y x n n nn n n L m m P zy x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛== πε （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为32-=aVε-----------------------（2）其中V=L 3是系统的体积，常量()22222)2(z y x n n n ma ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。

由（2）式可得VaV V l L εε323235-=-=∂∂----------------------（3） 代入压强公式，有VUa VV a P lll L ll3232==∂∂-=∑∑εε----------------------（4） 式中 lll a U ε∑=是系统的内能。

上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。

注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。

如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能。

7. 气柱的高度为H ，截面为S ，处在重力场中，试证明此气柱的内能为)1(0--+=KTmgHe NmgHNKT U U证明：为明确起见，假设气体是单原子分子理想气体。

在重力场中分子的能量为()mgz p p p mz y x +++=22221ε----------------------（1） 粒子的配分函数为Z Y X mgz p p p m dP dP dxdydzdP e hZ z y x ββ-++-⎰⎰=)(23122211)1(1)2(1)2(1112330233mgH mgzH e mg A m hdz e dxdy m h ββββπβπ---==⎰⎰----------------（2）其中 dxdy A ⎰=是气柱的截面积。

气柱的内能为)1()1(23ln 01--+=--+=∂∂-=mgH KT mgH e NmgHNKT U e NmgH NKT NKT Z NU ββ-----（3） 式中 N K T U 230=8. 气体以恒定的速度沿Z 方向作整体运动。

试证明，在平衡状态下分子动量的最概然分布为Z Y X P P P P mdP dP dP hVeZ Y X 3])([22022-++--βα 证明：气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。