15
非齐次泊松过程
允许时刻t的来到强度是t的函数
定义： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ(t)的非齐次泊松过程，若 它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立增量过程；
3. P{X (t h) X (t) 1} (t)h o(h)
P{X (t h) X (t) 2} o(h)
C nk n1
nk
(1
)k
-结巴概率：产生另一个需求
(1 )-下一个需求发生的概率（经过一个指数时间的逗留）
泊松过程的分解
例题
设到达某商场的顾客组成强度为λ的泊松过程，每个顾客购买商品的概率 为p，且与其他顾客是否购买商品无关，若{X( t )，t≥0}为购买商品的顾客 数，证明{X( t )，t≥0}是强度为λ p的泊松过程。
2、若不考虑其大小顺序，其分布就如n个独立的均匀随机变量U[0,t]，如
n
n
Sn Wi Ui , Ui ~U [0, t]
i 1
i 1
3、如果我们有一组n个独立均匀分布U[0,t]随机变量的观测值，将其按大 小排列，则可以将其视为给定X(t)=n的齐次泊松过程的n个到达点，是一 种产生齐次泊松过程的方法
19
复合泊松过程
定义：
设{N(t),t≥0}是强度为λ的泊松过程，{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布 随机变量，且与{N(t),t≥0}独立，令
N (t)
X (t) Yk , k 1
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
t0
N(t)
在时间段(0,t]内来到商店的顾客数
Yk
第k个顾客在商店所花的钱数
n)
n!
n i 1
(t) , m(t)
0，
0 t1 L tn t, 其他
说明在{X (t)=n}的条件下，n次事件到达时间的分布是n个独立同分布样 本的顺序统计量，其母体X的分布函数为：
m( x)
F
(x)
m(t
)
1，
x t, xt
18
例题
设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度 (t) 1 (1 cost) 的非齐次泊
例题 设在[0,t]内事件A已经发生n次，且0<s<t，对于0<k<n，求 P{X(s)=k|X(t)=n} 例题 设在[0,t]内事件A已经发生n次，求第k(k<n)次事件A发生的时间Wk的条 件概率密度函数。
13
到达时间的条件分布的说明
1、设{X(t),t≥0}是泊松过程，在给定[0,t]内事件A发生n次的条件下，这n 次到达时间W1，W2, …，Wn ，每一个都是U[0,t]的一个样本，且相互独 立。
泊松过程的分解：
强度为λ的泊松过程，事件A在时刻s到达，则此到达可分解成概率为P(s)的 type-1到达和概率为1- P(s) 的type-2到达，用{Ni ( t ) ，t≥0}，i=1,2，表示 type-i在时间(0,t]的达到次数，则有
P N1 (t )
n,
N2 (t)
m
e pt
( pt)n n!
例：某沙滩汽车的到达服从指数为λ的泊松过程，汽车在沙滩的逗留时间 分布为G(s)，假定各汽车逗留时间之间，以及逗留时间与到达时间之间相 互独立，用N1 ( t ) 表示时刻t离开沙滩的汽车数量， N2 ( t ) 表示时刻t仍然 在沙滩上的汽车数量，则N1 ( t ) 和 N2 ( t ) 是一个type-1和type-2的分解。
或
P{X (t)
n}
[mX (t)]n n!
exp {mX
(t)},
17
到达时间的条件分布
设{X (t),t 0}为非其次泊松过程，均值函数为m(t) t (t)dt，则在{X (t)=n} 0
的条件下，n次事件到达时间W1 W2 L Wn的条件概率密度为：
f
(t1,L
, tn
|
X (t)
即对任意s,t≥0，有 P{X (t s) X (s) n} et (t)n , n 0,1,
n!
泊松过程同时也是平稳增量过程
E[X (t)]
t
表示单位时间内事件A发生的平均个数，故称为过程的速率 或强度
3
泊松过程定义2： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立、平稳增量过程； 3. X(t)满足下列两式：
松过程（ω≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。2
例题 设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出，乘客流量如下：5时 按平均乘客为200人/时计算；5时至8时乘客平均到达率按线性增加， 8时到达率为1400人/时；8时至18时保持平均到达率不变；18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降，到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率，并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
eqt
(qt)m m!
其中，p 1 t P(s)ds，q 1 p t0
23
泊松过程的分解可推广到n个类型，用Pi(s)表示type-i在时刻s达到的概率，
定义：
1t
pi t 0 Pi (s)ds
i 1, 2L n
n
pi 1
i 1
则{Ni ( t ) ，t≥0}为参数λ pi的泊松分布，且{Ni ( t )}相互独立
非齐次泊松过程的均值函数（积分强度函数）为
t
mX (t)
(s)ds
0
16
定理：
设{X(t),t≥0}为具有均值函数 则有
t
mX (t)
( s)ds非齐次泊松过程，
0
P{X (t s) X (t) n}
[mX
(t
s) n!
mX
(t)]n
exp {[mX
(t
s)
mX
(t)]},
n0
10
定理：
设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个等待时间序列，则 Wn服从参数为n与λ的Г分布，其概率密度为
fWn
(t )
e
t
(t ) n 1
(n 1)
,
0,
t0 t0
例：已知仪器在[0，t]内发生振动的次数X(t)是具有参数λ的泊松 过程，若仪器振动k（k>=1）次就会出现故障，求仪器在时刻t0正 常工作的概率。
(1) 两分钟内接到3次呼叫的概率。 (2) 第二分钟内接到第3次呼叫的概率。
5
泊松过程的数字特征
设{X(t),t≥0}是泊松过程，对任意的t,s∈[0, ∞)，且s<t，有
E[X (t) X (s)] D[X (t) X (s)] (t s)
由于X(0)=0，所以
mX (t ) E[ X (t )] t
X(t)
该商店在(0,t]时间段内的营业额
20
定理
设 N (t )
X (t )
Yk ,
t 0是复合泊松过程，则
k 1
1. {X(t), t≥0}是独立增量过程；
2. X(t)的特征函数 g X (t) (u) exp{t[gY (u) 1]} ，其中gY (u) 是随机 变量Y1的特征函数，λ是时间的到达率；
2 X
(t )
D[ X
(t )]
t
RX (s,t) E[ X (s) X (t)] s(t 1)
一般情况下，泊松过程的协方差函数可表示为
BX (s,t) min(s,t)
பைடு நூலகம்
6
泊松过程的无记忆性： 设{X(t),t≥0}为具有参数λ的泊松过程，假定S是相邻事件的时间间 隔，求P{S>s1+s2|S>s1}。 即假定最近一次事件A发生的时间在s1时刻，下一次事件A发生的 时间至少在将来s2时刻的概率。
分布函数
0,
FW1|X (t)1(s)
s
t
,
1,
s0 0st st
分布密度
fW1| X
(t )1 (s)
1
t
,
0st
12
0, 其它
定理： 设{X(t),t≥0}是泊松过程，已知在[0,t]内事件A发生n次，则这n次到达时间 W1<W2, …<Wn与相应于n个[0,t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计 量有相同的分布。
3. 若E(Y12)<∞，则 E[ X (t)] tE[Y1 ], D[ X (t)] tE[Y12 ]
21
例题：结巴（stuttering）泊松过程
对于一个复合泊松过程，如果Yn服从几何分布：
P(Y y) (1 ) y，y 1, 2,L 可以求得：
P{X (t)
n}
n
et
k 1
(t)k k!
11
到达时间的条件分布
假设在[0,t]内时间A已经发生一次，我们要确定这一事件到达时间W1的 分布。
泊松过程
平稳独立增量过程
可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等，或者 说，这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s<t有
P{W1 s | X (t) 1} ?
对于任意n=1,2, …事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为
1 et , t 0
FTn
(t )
P{Tn
t}
0,
t0
概率密度为
e t , t 0
f Tn
(t )
0,
t0
9
等待时间的分布
等待时间Wn是指第n次事件A到达的时间分布
n