基础部张守成 2020年2月28日星期五
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
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令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
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(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
特征: 增量 X(t)-X(s) 的分布函数只依赖于 区间的长度t-s, 而与它的位置无关.
当增量具有平稳性时, 称相应的独立增量过程 是齐次的或时齐的.
第四章 泊松过程
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一、齐次泊松过程
1、独立增量过程
给定二阶矩过程 {X (t), t 0}, 定义随机变量 X (t) X (s), 0 s t 为随机过程 在(s, t] 上的 增 量 . 如果对任意选定的正整数 n 和任意选定的 0 t0 t1 t2 tn , n 个增量
用N (t), t 0表示在时间间隔 (0, t]内发生的某种
事件的数目，则{N(t), t 0}称为计数过程. 一个计数过程一定满足： (1) N(t)取非负整数值； (2) 如果s<t,则N(s)≤N(t); (3) N(t)在[0, ∞)上右连续且逐段取常数; (4) 对于0 s t , N (s, t) N (t) N (s) 等于在
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定理：
N (t)
设 X (t) Y是k ,复t 合0泊松过程，则 k 1
(1) {X(t), t0}是独立增量过程；
(2) X(t)的特征函数 gX (t) (u) exp t[gY (u) 1]
是事件的到达率,gY(u)是随机变量Y1的特征函数；
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2、齐次泊松过程的概念
考虑下列随时间的推移迟早会重复出现的事件： (1)自电子管阴极发射的电子到达阳极; (2)意外事故或意外差错的发生; (3)要求服务的顾客到达服务站.
电子到达阳极、顾客到达服务站等事件会随 时间推移随机发生在时间轴上的不同时刻.
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4
2 (t)dt
3
4
2 (200 400t)dt 3 1400dt
2600
(2) 12时至14时有2000人来站乘车的概率为
P{N(9) N(7) 2000} e2800 (2800)2000 2000!
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2、复合泊松过程
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
fWn
(t)



e


t

( t )n1
,t (n 1)!

0
0 , t 0
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二、泊松过程的推广
1、非齐次泊松过程
若 是时间t的函数 (t), t 0, 则称泊松过
{N (t), t 0}是强度函数为(t)的非齐次泊松过程.
将 2, t代入5
E[ X (t )] tE(Yn ), D[ X (t)] tE(Yn2 )
可得五周内移民到该地人口数的的期望
E[X (t)] 25, D[X (t)] 69
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课堂练习
设进入到某超市的人数是一个速率为 100
CN (s,t) mins,t, s,t 0.
相关函数:
RN (s,t) E[N(s)N(t)] 2st mins,t, s,t 0.
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例1：设{N(t), t 0}服从强度为 2的泊松过程，求
(1) P{N (5) 4}; (2) P{N (5) 4, N (7.5) 6, N (12) 9}; (3) P{N (12) 9 N (5) 4}; (4) E[N (5)], D[N (5)],Cov[N (5), N (12)].
注：
称
m(t
)

t
0
( s )ds
为累积强度函数或均值函数，
则有
N(t) N(s) ~ (m(t) m(s))
从而非齐次泊松过程不再具有平稳增量性.
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例1 某路公交车从早晨5时到晚上9时有车,乘客
流量如下:5时平均乘客为200人/小时;5时至8时
200 400t,
0 t 3
(t) 1400,
3 t 13
1400 400(t 13),13 t 16
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(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[N(4) N(2)] m(4) m(2)
故 FT2 T1 (t s) P{T2 t T1 s} 1 P{T2 t T1 s} 1 et .
表明T2服从均值为1/的指数分布，且与T1独立.
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重复上面的推导，可得下面的结论：
结论: 设{N(t), t0}是强度为的泊松过程，则
(3)若E(Y12 ) ， 则
E[ X (t )] tE[Y1] D[ X (t )] tE[Y12 ]
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例2 设移民到某地的户数是一个速率为 2
（每周）的泊松过程{N(t), t 0}, 若每户人口
数为独立同分布的随机变量Yn：PYn 1 0.1，
时间间隔 (s, t]中发生的事件数 .
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计数过程的一个典型样本函数
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定义 计数过程 {N(t), t 0}称作强度(或速率)为 的齐次泊松过程 , 如果它满足以下条件：
(1) N (0) 0； (2) 是独立增量过程; (3) 对任意 0 s t, N(t) N(s) ~ ((t s)).
解： (1) P N 5 4 104 e10 4! (2) PN 5 4, N(7.5) 6, N(12) 9
=PN 5 4, N(7.5) N(5) 2, N(12) N(7.5) 3
104 e10 4! 52 e5 2! 93 e9 3!
PYn 2 0.4，PYn 3 0.4， PYn 4 0.1.
设X (t)表示[0,t)时间内移民到该地的人口数，
求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
N (t )
解：X (t) Yn 是复合泊松过程,由Yn的分布律可得 n1
E(Yn ) 2.5, E(Yn2 ) 6.9
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再求已知T1的条件下，T2的条件分布函数
由于 P{T2>t|T1=s} =P{在(s, s+t]内没有事件发生|T1=s} =P{N(s+t)-N(s)=0 | N(s) -N(0) =1} = P{N(s+t) -N(s)=0 } (独立增量过程)
et .
X (t1 ) X (t0 ), X (t2 ) X (t1 ), , X (tn ) X (tn1 )
相互独立, 则称 {X (t), t 0} 为 独立增量过程. 特征: 在互不相交的区间上,状态的增量是相
互独立的，有 CX (s,t) DX (min( s,t)).
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(3) P{N(12) 9 N(5) 4} P{N(12) N(5) 5 N(5) 4}
P{N(12) N(5) 5} 145 e14 5!
(4) E[N(5)]=10, D[N(5)]=10, Cov[N(5), N(12)] 10.
注：
(1) 条件(1)表明计数从0时刻开始. (2) 条件(2)通常需要根据实际过程验证. (3) 条件(3)同时表明过程具有平稳增量.
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3. 齐次泊松过程的数字特征
由于 N(s, t) N(t) N(s) ~ ((t s))，