22
练习：
用定理3.2.3 解例数{N(t),t0}是参数为 λ的泊松过程，第i 次受冲击的损失为Di. 设{Di, i1} 独立同分布, 且与{N(t),t0}独立, 且损失随时间按负 指数衰减, 即t=0时损失为D, 在t时损失为 Det , , 0 设损失是可加的,那么到系统在[0,t]内受到冲击的损 失之和为
P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ), P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t )
其中 o(t ) 为 t 的高阶无穷小。λ又称 为Poission过程 的强度系数，表示单位时间内事件发生的次数。
4
定理3.1.1
定理3.2.3 设{N(t), t≥0}为参数(或强度)λ的泊松过 程，若已知在[0,t)内有n个事件相继发生，则n个发生 时刻 T1 T2 ... Tn的联合分布和n个[0,t)上独立同均 匀分布的随机变量的顺序统计量 U1 U2 ... Un 的 联合分布相同.
n m t (n m)! m ( t ) e n p (1 p) (n m)! n 0 n !m!

e
t
t
m!
m
m
p
m

n 0

(1 p)t
n!
n

e
t
t
m!
p
m
e
(1 p ) t

e
pt
pt
1) {M(t),t0}是一计数过程,且M(0)=0 ;
2) 每次事件发生时，对它的记录与对其它事件的 记录独立，故{M(t),t0}具有独立增量性； 只需验证 3) s, t 0, M (s t ) M ( s) ~ P( p t )
9
由全概率公式，P M s t M s m
13
定理3.2.2 事件发生时间 Tn 的概率密度函数为 (t )n1 t 证明 fTn (t ) e , t 0. n, (n 1)! j n ( t ) (1 ) n , 的特征函数为 注：1） t k n 1 x x 分布函数为： F ( x) 1 e , x 0. k ! k 0
提示: n,
k n 1 x 1 e x 的分布函数是 F ( x) k! k 0
, x 0
19
解:（1）由定理3.2.3, {N(t),t≥0}为强度λ的possion 过 程，故 E[N(t)]=λt ； （2）记第n位顾客完成服务的时间为 Tn ，根据定理 3.2.2,第n位顾客等候服务时间为 Tn1 n 1,
{P M s t M s m | N s t N (s) n m P N s t N s n m }
n 0

n m t ( t ) e m m n Cn m p (1 p) (n m)! n 0
T0 0 Tk inf t : t Tk 1 , N (t ) k , k 1
X1
T1
X2
T2
X3
T3
T4
12
先讨论到达时间间隔 的Xk分布.
定理3.2.1 事件发生时间间隔序列 X k Tk Tk 1, k 1,2, 相 互独立同分布，且服从参数为 λ的指数分布. 定理3.2.1 提供了Poisson过程的参数估计方法.
14
例3.2.2 设一系统在[0,t]内承受的冲击数{N(t),t0}是 参数为λ的泊松过程，第i 次受冲击的损失为Di. 设 {Di, i1}独立同分布, 且与{N(t),t0}独立, 且损失随 时间按负指数衰减, 即t=0时损失为D, 在t时损失 为 Det , 0,设损失是可加的,那么到系统在[0,t] 内受到冲击的损失之和为
k!
k
20
3.2.2 到达时刻的条件分布 本节讨论在给定N(t)=n 的条件下， T1, T2 ,, Tn 的条件分布及其有关性质。 考虑n=1时， 的分布，对 0 s t有
s P (T1 s N (t ) 1) t
这说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在已知 [0,t] 上有1个事件发生的条件下,事件发生的时间X1应该 服从[0，t]上的均匀分布。对此我们自然要问： (1)这个性质是否可推广到的 N (t ) n, n 1 情形？ (2)这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是 否成立？
(4) 普通性 : 在非常短的时间段Δt 内的理赔次数几 乎不可能超过1次,且发生1次理赔的概率近似与 Δt 成正比.(稀有事件)
3
定义3.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) ( 0) 的Poission过程(或Poission 流)，如果 1）N(0)=0 ; 2）具有独立增量性; 3）满足增量平稳性; 4）对于任意t>0和充分小的 t 0，有
( t ) k t P( N ( s t ) N ( s ) k ) e , k N k! 即 N (s t ) N (s) ~ P(t )
利用定理3.1.1 ,可得到Poission过程的等价定义:即
定义3.1.2 计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) λ 的Poission过程，如果 1）N(0)=0 ， 2）具有独立增量性， 3）s, t 0, N (s t ) N (s) ~ P(t )
第三章 泊松过程与更新过程
教师 徐凤 xdiao_3@
1
第三章 Poission过程与更新过程
3.0 计数过程 定义 称一个随机过程 {N (t ), t 0} 是一个计数过程 (point process),若N(t) 满足: 1) N(t)取非负整数值； 2）若s<t,则 N(t)-N(s)等于区间(s,t] 中 “事件”发生的次数.
2
3.1 Poission过程的定义
背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某 类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类 过程有如下特点: (1)零初值性：N（0）=0； (2)独立增量性：在不同的时间段内的理赔次数彼 此独立； (3)平稳增量性:在同样长的时间段内理赔次数的概 率规律是一样的;
18
练 习 设有 n 位顾客在 0 时刻排队进入仅有一个服务员的系
统 . 假定每位顾客的服务时间独立 , 均服从参数为λ 的指数分布 . 以 N(t) 表示到 t 时刻为止已被服务过的 顾客人数.求 （1）E[N(t)];
（2）第n位顾客等候服务时间的数学期望;
(3)第n位顾客能在t时刻之前完成服务的概率.
(t ) Di e
i 1
N (t )
t Ti
其中τi为第i次冲击到达的时刻, 求 E t
15
定义 3.2.1 若计数过程 {N(t),t0}的事件发生时间间隔 序列 {X n , n 1} 是相互独立同参数为λ的指数分布，则
{N(t),t0}是参数为λ的泊松过程.
8
例 3.1.3 设N(t)表示[0,t]时段内事件A的发生次数,且 {N(t),t0} 形成强度为λ的Poisson过程. 如果每次事件 A发生时以概率p能够被记录下来, 并以M(t)表示到t时 刻记录下来的事件总数, 试证明{M(t),t0} 形成强度为 λp 的Poisson过程. 解：对照Poisson过程的定义3.1.2
17
例 3.2.1 设从早上8:00开始有无穷多的人排队等候服 务，只有一名服务员，且每个人接受服务的时间是独 立的并服从均值为20min的指数分布，则（1）到中午 12:00为止平均有多少人已经离去?（2）已有9人接受 服务的概率是多少？ 例 3.2.2 假设某天文台观测到的流星数是一个Poisson 过程，根据以往资料统计为每小时平均观察到3颗流 星。试求：上午8:00-12:00间，该天文台没有观测到 流星的概率。
m!
m
#
10
例 3.1.4 若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度为λ， 而每个卵变成为成虫的概率为p，且每条卵是否变为 成虫彼此之间没有关系，求在时间[0,t]内每条蚕养活 k只小蚕的概率。 例 3.1.5 观察资料表明，天空中星体数服从Poisson分 布，其参数为λV,这里V是被观察区域的体积。若每个 星球上有生命体存在的概率为p,则在体积为V的宇宙 空间中有生命体存在的星球数的分布是怎样的？
5
s, t 0,
若{N(t),t0}为Poission过程，则
注：泊松过程的数字特征与特征函数
泊松过程的均值函数
泊松过程的方差函数 泊松过程的均方值函数
mN t E N t t
DN t D N t t
N t E N t DN t m t t t
定理3.2.3 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统 计检验的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的 随机数, 将其作为Xi, i=1,… 即可得到Poisson过程的一 条样本轨道.
T1
T2
T3
T4
16
要检验{N(t),t0}是否为Poisson过程,可转化为检验 相邻两次跳跃间隔时间{Xn= Tn –Tn-1, n1}是否为指数 分布总体的i.i.d(独立同分布) 样本.
21
为回答(1),需要如下关于顺序统计量的性质: 若{Ui, 1in}在[0,t]上独立同均匀分布, 则其顺序统 计量 (U1 ,U2 ...,Un ) 的联合密度函数为
n! , 0 u1 u2 un t , f (u1 , u2 ,, un ) t n 其它 0,