12
矩形法举例
相对误差分析
dx = arctan x 理论值： 理论值：∫0 2 1+ x
1
1 0
π = 4
0.78789399673078 − π / 4 ≈ 0.003178 π/4 0.78289399673078 − π / 4 右点法相对误差： 右点法相对误差： ≈ 0.003188 π/4 中点法相对误差： 中点法相对误差： 0.78540024673078 − π / 4 ≈ 2.653 × 10 -6 π/4
相对误差： 相对误差： 0.78539399673078 − π / 4 ≈ 5.305 × 10 -6 π/4
17
抛物线法
2n 等分区间 [a,b] ，得
b−a h1 = , xi = ih1 , i = 0,1, K , 2n 2n
计算每个节点上的函数值： 计算每个节点上的函数值：
yi = f ( xi ), i = 0,1, K , 2n
左端点 xi −1 , 右端点 xi 和中点 ( xi −1
+ xi ) / 2 。
左点法
右点法
中点法
10
矩形法
∆x1 x0 = 步长 x1 ∆ x2 x2
∫
LL
∆ xi x i −1 xi
b
a
f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξ i )∆xi
i =1
n
LL
LL
∆ xn x n −1 = xn 节点
在区间 [x0, x2] 上，用过以下三点
P0 ( x0 , y0 ), P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )
的抛物线来近似原函数 f (x) 。 抛物线来近似原函数 用抛物线代替该直线， 抛物线代替该直线， 代替该直线 计算精度是否会更好？ 计算精度是否会更好？
18
抛物线法
设过以上三点的抛物线方程为： 设过以上三点的抛物线方程为： y = α x2 + β x + γ = p1(x) 则在区间 [x0, x2] 上，有
∫
x2 x0
f ( x )dx ≈ ∫
3 2
x2 x0
p1 ( x )dx = ∫ x ( α x 2 + β x + γ )dx
0
x2
αx βx 3 3 2 2 = + + γ x = α ( x2 − x0 ) + β ( x2 − x0 ) + γ ( x2 − x0 ) 3 2 2 x0 3 x2 − x0 2 2 ( αx0 + βx0 + γ ) + ( αx2 + βx2 + γ ) = 6 +α( x2 + x0 ) 2 + 2β( x2 + x0 ) + 4 γ
→
0Leabharlann 2. 微分与导数 函数f(x)在点 = x0的导数为 在点x 函数 在点
f(x 0 + h ) − f(x 0 ) f '(x 0 ) = lim h →0 h
若f(x)在x0可导则在 0可微，dy = Adx 在 可导则在x 可微， 函数在x 当f’(x0)>0,函数在 0点附近是上升的； 函数在 点附近是上升的； 函数在x 当f’(x0)<0,函数在 0点附近是下降的； 函数在 点附近是下降的； 为驻点, 当f’(x0)=0, x0为驻点 为驻点且f”(x0)<0(或f”(x0)>0)，则 若x0为驻点且 或 ， f(x)在x0点达到局部极大（或局部极小） 在 点达到局部极大（或局部极小）
∫
b
a
i =1
i =1
2
i =1
2
==>
∫
a
yn y0 f ( x )dx = h + y1 + L + yn−1 + 2 2
梯形公式
fuluB.m
梯形公式与中点公式有什么区别 ?
16
梯形法举例
例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差 ，
dx I=∫ 0 1 + x2
x4
相加即得： 相加即得：
∫
b a
f ( x )dx = ∑ ∫
i =1 n
n
x2 i x2 i − 2
f ( x )dx
b−a ( y2 i − 2 + 4 y2 i −1 + y2 i ) ≈∑ i =1 6 n
Taylor公式 当f(x)在含有 0某个开区间内 公式:当 在含有 在含有x 公式 具有直到n+1阶的导数， 阶的导数， 具有直到 阶的导数
f (x ) = f(x 0 ) + f '(x 0 )(x − x 0 ) + f " (x 0 )
2 (x − x 0 )2 +
f (n )(x 0 ) f (n +1)(ξ ) L+ (x − x 0 )n + (ξ − x 0 )n +1 n! (n + 1)!
y →y 0
若 A=f(x0,y0), 称f(x,y)在(x0,y0) 点连续 在 f(x,y)在点 0,y0)的偏导数分别定义为 在点(x 在点 的偏导数分别定义为
f (x 0 + ∆x ,y 0 ) − f(x 0 ,y 0 ) fx(x 0 ,y 0 ) = lim ∆x → 0 ∆x f (x 0 ,y 0 + ∆y ) − f (x 0 ,y 0 ) ' fy(x 0 ,y 0 ) = lim ∆y → 0 ∆y
2
预备知识： 预备知识：微积分 1.极限和连续 极限和连续 使当n>N时 数列极限: ∀ε>0, ∃ N>0 ，使当 时 数列极限 ∀ε 有xn -a<ε，则 lim xn = a ε n→∞ 函数极限: 如果当x→ 时有f(x) → A， 函数极限 如果当 →x0时有 ， lim f (x ) = A 则 x x 连续: 如果当x→x0时，有f(x)→ f(x0) 连续 如果当 → → 则称 f(x)在x0连续。 在 连续。 闭区间上连续函数必有最大值和最小值。 闭区间上连续函数必有最大值和最小值。
1
解： a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) ==> h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) ==>
yn dx y0 ∫0 1 + x 2 ≈ h 2 + y1 + L + yn−1 + 2
1
≈ 0.78539399673078
b
二重积分定义为
∫ f(x )dx a
lim 2 2
= F(b ) − F(a )
∫∫ f(x ,y )dxdy G
=
max( ∆x i + ∆y j )→ 0
∑ ∑ f(ξi ,ηj )∆x i ∆y j i j
主要内容
数值积分的常见算法
矩形法 梯形法 抛物线法
Matlab 求积分函数
数值积分函数：trapz、quad、dblquad 数值积分函数： 、 、 符号积分函数： 符号积分函数：int
∆x = max ∆xi
i
9
矩形法
定积分的近似： 定积分的近似：
n
∫
b a
f ( x )dx ≈ ∑ f ( ξ i )∆xi
i =1
n 充分大，∆x 充分小 充分大，
b−a h= 通常我们取 ∆x1 = ∆x2 = L = ∆xn n 可以任意选取，常见的取法有： 点 ξ i ∈ [ xi −1 , xi ] 可以任意选取，常见的取法有：
yi −1 + yi Si ≈ ∆xi yi = f ( xi ), i = 1, 2,K , n 2
整个曲边梯形的面积： 整个曲边梯形的面积： 曲边梯形的面积
S = ∫ f ( x )dx
b
= ∑ Si
i =1 n
a n
Si
≈∑
i =1
yi −1 + yi ∆xi 2
15
梯形法
如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令： ，即令： b−a ∆x1 = ∆x2 = L = ∆xn h= n n n n b yi −1 + yi yi −1 + yi f ( x )dx = ∑ Si ≈ ∑ 则 S= ∆xi = h∑
左点法相对误差： 左点法相对误差：
不同的算法有不同的计算精度
有没有更好的近似计算定积分的方法 ?
13
定积分几何意义
y
f ( x)
S1 S2
S =K f ( x )dx ∫a K
Si
b
Sn
S = ∫ f ( x )dx = ∑ Si
a i =1
b
n
o a
x i −1 x i
b
x
14
梯形法
曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似 的面积可以由直边小梯形
8
矩形法
矩形法
∫
x0 =
b a
f ( x )dx = nlim →∞
∆x1 x1 ∆ x2 x2
= ∆x ∆x →0 i=1
∑ f (ξ )∆x ,
i i
n
ξ i ∈ [ xi −1 , xi ]
∆ xn x n −1 = xn
LL
∆ xi x i −1 xi
LL
LL
LL
∆ x i = x i − x i −1
x2
x2 − x0 b−a (y0 + 4y1 + y2 ) = (y0 + 4 y1 + y2 ) = 6 6n