附录三 用材料力学方法计算坝体应力一、说明混凝土重力坝一般均用材料力学方法计算坝的应力指标并设计断面，所以本附录仍列入该法的有关计算公式，至于电子计算机的程序另见本规范参考资料。

本法假定坝体各水平截面上的垂直正应力σy 呈直线分布，因此，可以按材料力学中的偏心受压公式来确定σy ，然后依次应用平衡条件确定剪应力τ，水平正应力σx 以及主应力σz 1，σz 2和其方向。

作用在计算截面上的扬压力，通常呈折线形分布(附图6a )，这个图形，可分解为一个在全截面上呈梯形(或三角形)分布的图形(附图6b )和一些在上游部分呈局部三角形或矩形分布的图形，如附图6c 、d 、e 。

当扬压力沿全截面呈直线分布时(即附图6b 所示情况)，其所产生的应力为：=-==τσσvy x p附图6v p 为计算点的扬压力，因此，这种扬压力所产生的应力可以不必专门计算，只须先不考虑扬压力的影响，确定各点上的应力σx ，σy 及τ，然后在正应力中扣去扬压力v p 即可，对于仅作用在截面局部部分上的扬压力(渗透压力)，则必须作专门计算，以确定其所产生的应力。

用材料力学方法计算坝体应力时，以压应力为正，拉应力为负，y 为垂直轴，以向下为正，x 为水平轴，以向上游为正，原点取在计算截面与下游坝面的交点上(附图7)，其余所用符号如下：T ——坝体计算截面沿上、下游方向的长度； n ——上游坝坡，n =tg φs ； m ——下游坝坡，m =tg φxi ； γh ——混凝土容重；γ、'γ——上、下游水的容重('γ在数值上常等于γ)；p 、'p ——计算截面在上、下游坝面所受的水压力(如有泥沙压力时应计入在内)；p y 、'p y ——计算截面在上、下游坝面所受地震动水压力；λ——地震惯性力总系数，λ=k H C z F 以入乘混凝土重量W ，即为地震惯性力，应按《水工建筑物抗震设计规范》计算；vs p 、vxi p ——计算截面在上、下游坝面处的扬压力；ηγH ——在上游的渗透压力(H 为计算截面以上的上游水深，η为扬压力系数)； ΣW ——计算截面上全部垂直力的总和(包括坝体自重、水重、泥沙重及计算的扬压力等)，以向下为正，对于实体重力坝，均切取单位宽度坝体为准(下同)；ΣP ——计算截面上全部水平推力的总和(包括水压力、泥沙压力和地震水压力等)，以指向上游为正；ΣM ——计算截面上全部垂直力及水平力对于计算截面形心的力矩的总和，以使上游面产生压应力者为正；其他符号将在宽缝重力坝计算中再加说明。

二、实体重力坝的计算1.计算实体重力坝应力的基本公式 (1)实体重力坝坝面应力公式：上游面垂直正应力26T MT W s y ∑∑+=σ(附29)下游面垂直正应力26T MT W xiy ∑∑-=σ(附30)上游面剪应力n p p s y y s )(στ-+= (附31)下游面剪应力m p p y xiy xi )('+'-=στ (附32)上游面水平正应力σσx s y y y s p p p p n =+-+-()()2(附33)下游面水平正应力σσx xi y y xi yp p p p m ='-'+-'+'()()2 (附34) 上游面主应力σσz s ys y n n p p 1221=+-+()() (附35) σz s y p p 2=+ (附36)下游面主应力)()1(221y xi y xi z p p m m '-'-+=σσ (附37)y xi z p p '-'=2σ (附38)以上公式(附31)～(附38)适用于无扬压力作用的情况。

当截面上有扬压力作用时，应分别采用下列公式：n p p p sy s v y s )(στ--+= (31)附' m p p p xi v y xi y xi )(+'+'-=στ (32)附'2)()(n p p p p p p sy s v y s v y s x σσ--+--+= (33)附'2)()(m p p p p p p xi v y xi y xi v y xi x +'+'-+-'-'=σσ (34)附')()1(221s v y sy s z p p p n n -+-+=σσ (35)附's v y s z p p p -+=2σ (36)附')()1(221xiv y xi y xi z p p p m m -'-'-+=σσ (37)附'xiv y xi z p p p -'-'=2σ (38)附'对于较低或次要的坝体，只须计算坝面上的应力已足够，坝体内部各点的应力可用插入法估算。

(2)实体重力坝内部各点应力公式： ①垂直正应力σy 的公式：σy a bx =+ (附39)a W T MT =-∑∑62 (附40)b MT =123∑ (附41)②剪应力τ的公式：τ=++a b x c x 1112 (附42)a xi 1=τ (附43)b b a y m h 1=+-∂∂γ (附44)c by 112=∂∂ (附45)式中 ∂∂a y ，∂∂by 为a 和b 沿y 的变率，可在离开计算截面不远处，另取一截面，计算其上的a和b 值，然后计算y b y b y a y a ∆∆≈∆∆≈∂∂∂∂,。

③水平正应力σx 的公式：322222x d x c x b a x +++=σ (附46)xi x a σ=2 (附47)h y a m b b λγ∂∂-+=112 (附48)y b m c c ∂∂11221+= (附49)y c d ∂∂1231=(附50)式中 a 1、b 1、c 1——剪应力公式中的三个系数，见公式(附43)～(附45)；y a ∂∂1、y b ∂∂1、y c ∂∂1——a 1、b 1及c 1沿y 的变率，也可在离开计算截面不远处，另取一截面，计算其上的a 1、b 1及c 1，然后计算y c y c y b y b y a y a ∆∆≈∆∆≈∆∆≈111111,,∂∂∂∂∂∂。

以上所列出的剪应力τ及水平正应力σx 的计算公式适用于计算无扬压力作用的情况。

当沿全截面上有直线分布的扬压力作用时，可不必专门计算，只须将所求得的垂直正应力σy 和水平正应力σx 减去该点的扬压力v p 即可(剪应力不变)。

当截面上有局部渗透压力作用时，除计算中须计及渗透压力荷载外，对渗透压力作用范围内各点的τ和σx ，尚应在公式(附42)和(附46)中加上一个校正项：21112111x c x b a x c x b a +++++=τ (附51)附表7322222322222x d x c x b a x d x c x b a x +++++++=σ (附52)式中 x ——从扬压力消失点到计算点的距离(附图8)；a 1、b 1、a 2、b 2——系数，从附表7中采用。

附图8表中r 为渗透压力消失点至迎水面距离和坝体截面总长度T 的比值，为小于1的数值；rT 为渗透压力作用段的长度，而n r m n n 2=+-() (附53)(3)主应力计算公式： 求出各点的三个分应力σy ，τ和σx 后，可按下式计算主应力σz 1，σz 2及第一主应力方向ϕz 1：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x y z x y x y z xy xy z σστϕτσσσσστσσσσσ2arctg 2122221222221 (附54)ϕz 1系从垂直线量起，以逆时针方向为正。

2.实体重力坝的应力因素计算法当需要对重力坝内部应力的分布进行全面计算时，建议采用下述应力因素法的步骤和公式进行系统计算，以减少工作量和便于核算。

在应力公式中出现的参变数有ΣW 、ΣP 、ΣM 、p 、p y 、'p 、'p y 、γ、'γ、γh 、λγh 等十一个，把它们当作十一种应力因素，确定每一因素在应力公式中的影响(也就是令某一应力因素为1，其余所有因素均为0，此时所获得的简化公式)，如果再把公式无因次化，则某一种因素(例如ΣW )所产生的各点应力将呈下列形式：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫'=''+''+''+'='=''+''+'='=''+'=x x y y K x d x c x b a T W K x c x b a T W K x b a TW σσττσσ)()()(3222222111∑∑∑ (附55)式中'σy 、'τ及'σx 为1=∑T W所产生的应力，可称为应力因数，均为无因次数值，并可写成'σy ='a +''b x 等的形式(见附表8)，这里'a 1、'b 1……'d 2均为无因次的系数，主要仅为坝体几何尺寸的函数，可事先算好，其公式全部汇列于附表9中，K 即分别为T W ∑、T P∑……等，称为还原系数；'x 为每一计算点的相对坐标。

对于两种局部渗透压力的基本图形(基本图形Ⅰ为局部三角形分布，基本图形Ⅱ为局部矩形分布)，亦可视为两种因数，其所产生的应力因数公式亦汇列于附表9中，在渗透压力作用范围内τ和σx 公式中尚有校正项'a 1、'b 1、'a 2及'b 2等(见附表8及附表10)。

采用应力因素法计算的步骤如下：(1)在坝体横断面上选取若干个计算截面，在每一截面上选取若干个计算点，组成计算网格(附图9)。

附图9(2)确定每一计算高程处的下列参数： 截面长度T ；截面上的合力ΣW 、ΣP 、ΣM ；截面上下游所承受的静压力和地震动水压力p 、y p 、'p 和'p y ；截面上的局部渗透压力图形的底宽rT 和其上游面的渗透压力H ηγ；截面上、下游坝坡n ，m (如果坝面为曲面，尚应确定坝坡的变率y my n ∂∂∂∂,)。

(3)确定每一计算点的横坐标，计算其相对坐标Tx x ='和'x 2、'x 3等，位于局部渗透压力作用区段内的计算点，尚应确定x 和Tx x ='。

将每一高程上的各参数及计算点上的相对坐标，列成表格以备应用。

(4)按照附表8及附表9计算每一因素的常数'a ，'b ，……'d 2，也列成表格。