弦长问题
例 1.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点 恰好是抛物线 y
1 2 2 5 x 的焦点，离心率为 4 5 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l : y x 1 与椭圆 C 相交于两点 A,B,求|AB|。
1 2 ，依题意 b=1, （1）由 y x 得焦点 F（0，1） 解： 4 a 2 c 2 1 联立 c 2 5 得 a 2 5 5 a x2 2 椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点
2 5 1 2 恰好是抛物线 y 4 x 的焦点，离心率为 5 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l : y x 1 与椭圆 C 相交于两点 A,B,求 |AB|。
y x 1 5 2 2 3 x 5 x 0 解： 由 消 y 得 ， 所以 x x , x1 x2 0 1 2 x 2 3 y 1 5
直线与圆锥曲线的位置关系
——弦长问题及中点弦问题
1.知识网络结构：
几何角度(主要适用于直线与圆的 位置关系) 直线与圆锥曲线的位置 关系 代数角度（适用于所有 直线与圆锥曲线位置关 系） 1.直线与圆锥曲线 弦长问题 — —利用一般弦长公式（ 两点间距离公式） 直线与圆锥曲线相交的 中点弦问题 — —根与系数的关系法， 点差法
1 2 1 2
1 1 2 2
| AB |
1 k X
2
2 2 1 X 2 4 X1 X 2
可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后 得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得 到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行 整体带入求解。
课堂练习一、
课练1：斜率为1的直线经过抛物线 y 4x 的 焦点，与抛物线相交于两点A,B，求线段|AB|的 长。
2
中点弦问题 例2、过点 P 4,1 作抛物线 恰好被点P平分。 （1）求AB的所在直线方程 （2）及弦|AB|的长度。
y 2 8x的弦|AB|，
中点弦问题归纳总结
求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法： ⑴.点差法： 将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即 可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程； ⑵.根与系数的关系法： 设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立， 消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，用根与系 数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写 出弦的方程； x2 , y2 则这两点坐标分 ⑶.设弦的两个端点分别为 x1 , y1 ,， x x y y , 别满足曲线方程， 2 又为弦的中点，从而得到 2 四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求 出弦的方程。
代入 | AB | |AB|=
5 2 3
1 k X
2
2 2 1 X 2 4 X1 X 2

弦长问题知识归纳
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点， 化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与 系数的关系，进行整体代入。即当直线 斜率为k Bx , y ，时， 与圆锥曲线交于点 Ax , y ，