2020年安徽省合肥市高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.复数在复平面上的对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知R是实数集，集合A={-1，0，1}，B={x|2x-1≥0}，则A∩（∁R B）=（）A. B. C. {1} D. {-1，0}3.执行如图所示的程序框图，若输入x=-1，则输出的y=（）A.B.C.D.4.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a2+a3=4，S6=10，则a3=（）A. B. C. D.5.若向量的夹角为120°，，，则=（）A. B. C. 1 D. 26.若函数的最小正周期为，则f（x）图象的一条对称轴为（）A. B. C. D.7.已知a，b，c为三条不同的直线α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是( )A. 若a∥b，b⊂α，则a∥αB. 若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥βC. 若α∥β，a∥α，则a∥βD. 若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c8.在区间[-4，4]上任取一个实数a，使得方程表示双曲线的概率为（）A. B. C. D.9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a sin B=2b sin C，，b=3，则△ABC的面积为( )A. B. C. D.10.已知直线与圆交于点M，N，点P在圆C上，且，则实数a的值等于（）A. 2或10B. 4或8C.D.11.若圆锥SO1，SO2的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上，两个圆锥的母线长分别为4，，则这两个圆锥公共部分的体积为（）A. B. 8π C. D.12.已知t＞2，点A（t，ln t），B（t+2，ln（t+2）），C（t+4，ln（t+4）），则△ABC的面积的取值范围是（）A. （0，1）B. （0，ln2）C.D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.抛物线x2=8y的焦点坐标为______．14.设点（x，y）是不等式组表示的平面区域内的点，则过点（x，y）和点（-2，-4）的直线的斜率的取值范围是______．15.函数f（x）=x2-2x-1-|x-1|的所有零点之和等于______．16.已知函数f（x）=cos2x+sin x，若对任意实数x，恒有f（α1）≤f（x）≤f（α2），则cos（α1-α2）=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等比数列是首项为1的递减数列，且．求数列的通项公式；若，求数列的前n项和．18.在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人．在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（1）填写下面列联表，并判断是否有97.5%的把握认为，经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（2）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出6人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这6位居民中随机选取2人作交流发言，求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率．附：，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：CD⊥平面GAC；（2）求三棱锥D-GAC与三棱锥P-ABC的体积之比．20.已知F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆C上，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，求的取值范围．21.已知函数(e为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求证：当a≥3－e时，对∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥－1．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数，α∈[0，π]）．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2（1+3sin2θ）=4．（1）求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；（2）若直线l：x=t分别交曲线C、曲线E于点A，B，求△AOB的面积的最大值．23.设f（x）=3|x-1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，m≠0，m2+4n2=k，求证：+≥．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，在复平面上的对应点为（2，1），位于第一象限．故选：A．把复数z的分子分母同乘以分母的共轭复数2+i，把复数化成a+bi（a，b∈R）的形式，则其在复平面上的对应点为（a，b），可判断其所在象限本题考查复数的运算，复数的几何意义．复数除法的运算过程就是分母有理化；复数a+bi（a，b∈R）在复平面上的对应点为（a，b）．2.答案：D解析：解：因为，所以∁R B={x|x＜}．又A={-1，0，1}，所以A∩（∁R B）={-1，0}．故选：D．先解不等式得出集合B，再求B的补集，最后与A求交集．本题考查集合交、并、补的运算，考查对基本概念和运算的掌握．利用集合补集和交集的定义是解决本题的关键．3.答案：D解析：解：输入x=-1，，不成立，；，成立，跳出循环，输出．故选：D．按程序框图指引的顺序依次执行，写出各步的执行结果即可得到答案．本题考查循环结构程序框图的输出结果．当程序执行到判断框时要注意判断循环条件是否成立，是继续下一次循环，还是跳出循环．4.答案：A解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．列出关于a1，d的方程组并解出，即可求得a3的值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a2+a3=4，S6=10，∴3a1+3d=4，6a1+d=10，联立解得：a1=，d=∴．故选：A．5.答案：C解析：解：因为，又，，，所以，解得（舍去）或．故选：C．由，代入已知条件，即可解得．本题考查求平面向量的模，常用方法是用数量积或求解．6.答案：C解析：【分析】本题考查三角函数的周期性和对称轴．对于函数f（x）=A sin（ωx+φ）+B，考查最小正周期公式以及的对称轴方程，属于基础题．先由最小正周期求出ω，再令可得对称轴方程，从而可得答案．【解答】解：函数f（x）的最小正周期为，解得ω=3.则，令，解得，取k=1，可得f（x）图象的一条对称轴为．故选：C．7.答案：D解析：解：A，若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确．B，若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β或α与β相交，故B不正确．C，若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β，故C不正确．D，如图，由a∥b可得b∥α，易证b∥c，故D正确．故选：D．由空间线面、面面平行的性质和判定逐一判断各选项即可．本题考查空间线面的位置关系．使用空间线面、面面平行（垂直）的判定定理和性质定理时，一定要保证条件完整才能推出结论．8.答案：D解析：解：若方程表示双曲线，则（a+2）（a-3）＜0，解得-2＜a＜3．在区间[-4，4]上任取一个实数a，当a∈（-2，3）时，题中方程表示双曲线，由几何概型，可得所求概率为．故选：D．先求出使得方程表示双曲线的条件，再利用几何概型求概率．本题考查双曲线的方程，长度型几何概型．方程表示双曲线的条件是mn＜0．9.答案：B解析：【分析】先由正弦定理得a=2c，再由余弦定理得a，c，最后由求面积．本题考查由正弦定理、余弦定理解三角形，求三角形的面积．已知关于三角形的边和角的正弦值的等式，一般由正弦定理化角为边或化边为角．已知角的余弦值，一般可由余弦定理列式．【解答】解：由a sin B=2b sin C结合正弦定理可得ab=2bc，则a=2c．由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，可得，解得，则a=3．又，所以．故选B．10.答案：B解析：解：由可得．在△MCN中，CM=CN=2，，可得点到直线MN，即直线的距离为．所以，解得a=4或8．故选：B．由圆的性质可得出圆心C到直线l的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数a的值．本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离．在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便．11.答案：A解析：解：易得S，O1，O2，O在同一条直线上，过该直线作出截面图如图所示．A1B1是圆锥SO1底面圆的直径，A2B2是圆锥SO2底面圆的直径，两直径都与OS垂直．在△OA1S中，SA1=4，OA1=OS=4，则可得OO1=O1S=2．在△OA2S中，，则，则OA2⊥OS．又O2A2⊥O2S，所以点O，O2重合．这两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，其底面半径为，高为O1S=2，所以所求体积为．故选：A．过圆锥的轴作出截面图求解，两个圆锥共顶点且底面平行，故它们的公共部分也是一个圆锥，求出其底面半径和高，即可得所求体积．本题考查与球有关的切接问题，体积的计算，解题的关键是过球心作出截面图．12.答案：D解析：解：如图，点A（t，ln t），B（t+2，ln（t+2）），C（t+4，ln（t+4））都在曲线y=ln x上，分别过点A，B，C作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，易得A1B1=B1C1=2，AA1=ln t，BB1=ln（t+2），CC1=ln（t+4）．设△ABC的面积为S，则=[ln t+ln（t+2）]+[ln（t+2）+ln（t+4）]-2[ln t+ln（t+4）]=2ln（t+2）-ln t-ln（t+4）=．又t＞2，则随t的增大而减小，，所以，即△ABC面积的取值范围为．故选：D．可得点A，B，C都在曲线y=ln x上，作出图形，由点的坐标表示出△ABC的面积，再由函数的性质可求出面积的取值范围．本题综合考查图形的面积，函数的最值．考查综合利用数形结合、化归与转化等数学思想方法解决数学问题的能力．13.答案：（0，2）解析：解：抛物线x2=8y中，p=4，焦点在y轴上，则其焦点坐标为（0，2）；故答案为（0，2）．抛物线x2=8y中，p=4，由抛物线焦点坐标公式，计算可得答案．本题考查抛物线的简单性质，需要牢记抛物线的4种形式以及对应的焦点坐标、准线方程．14.答案：解析：解：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A（1，1），B（1，-3），C（-1，-1）．记P（-2，-4），过点（x，y）和点P（-2，-4）的直线的斜率为k，由图象可得k PB≤k≤k PC，而，所以，即过点（x，y）和点（-2，-4）的直线的斜率的取值范围为．故答案为：．作出不等式组表示的平面区域，结合图象可得所求斜率的取值范围．本题考查线性约束条件下可行域内的点与定点连线斜率的取值范围，解题关键是作出平面区域．15.答案：2解析：解：令f（x）=x2-2x-1-|x-1|=0，则（x-1）2-|x-1|-2=0．设t=|x-1|≥0，则t2-t-2=0，解得t=-1（舍去）或t=2．所以t=|x-1|=2，解得x=-1或x=3．所以函数f（x）有两个零点-1，3，它们之和等于-1+3=2．故答案为：2．令f（x）=0，利用换元法可解得方程的根，即得函数的零点．本题考查函数的零点，通过解方程f（x）=0来求函数f（x）的零点．16.答案：解析：【分析】本题考查三角函数的最值和三角恒等变换，解题的突破口是由不等式恒成立得出函数的最值．由函数f（x）取得最值的条件，可求得，再由三角恒等变换求cos（α1-α2）的值．【解答】解：对任意实数x，恒有f（α1）≤f（x）≤f（α2），则f（α1）为最小值，f（α2）为最大值．因为，而-1≤sin x≤1，所以当sin x=-1时，f（x）取得最小值；当时，f（x）取得最大值．故．所以cosα1=0．则．故答案为：．17.答案：解：（1）由a3+a4=6a5，得6q2-q-1=0，解得或．∵数列{a n}为递减数列，且首项为1，∴．∴．（2）∵，∴．两式相减得==，∴．解析：（1）由已知等式结合通项公式解出公比，再结合递减数列取舍，即可得数列{a n}的通项公式．（2）用错位相减法求和．本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求数列的和．若数列{a n}满足a n=b n c n且{b n}，{c n}分别是等差数列和等比数列，则可以用错位相减法求数列{a n}的前n项和．18.答案：解：（1）由题意得：城镇居民农村居民合计经常阅读10024124不经常阅读502676合计15050200则=，∴有97.5%的把握认为经常阅读与居民居住地有关；（2）城镇居民150人中，经常阅读的有100人，不经常阅读的有50人．采取分层抽样抽取出6人，则其中经常阅读的有4人，记为A，B，C，D；不经常阅读的有2人，记为x，y．从这6人中随机选取2人作交流发言，所有可能的情况为AB，AC，AD，BC，BD，CD，Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，Dx，Dy，xy，共15种．被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况为：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，∴所求概率为．解析：（1）由题意填写列联表，由公式计算K2并结合临界值表判断即可．（2）先由分层抽样求抽取出的人数，再用列举法求古典概型的概率．本题考查统计与概率的综合问题，考查分层抽样、独立性检验、古典概型，考查计算能力，是中档题．19.答案：证明：（1）取AD的中点为O，连接OP，OC，OB，设OB交AC于H，连接GH．∵AD∥BC，，∴四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形．∴OB⊥AC，OB∥CD．∴CD⊥AC．∵△PAD为等边三角形，O为AD中点，∴PO⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD且PO⊥AD，∴PO⊥平面ABCD．∵CD⊂平面ABCD，∴PO⊥CD．∵H，G分别为OB，PB的中点，∴GH∥PO．∴GH⊥CD．又∵GH∩AC=H，∴CD⊥平面GAC．（2）三棱锥D-GAC与三棱锥P-ABC的体积之比为：=．解析：（1）要证线面垂直，需在平面GAC内找两条相交直线，证明它们与CD垂直．（2）分别考虑两个三棱锥的底面积和高的比，再求体积比．本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算．要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明．求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面．20.答案：解：（1）由题意，可知：∵椭圆C经过点，∴可将点P坐标代入椭圆方程，得：，又∵△PF1F2的面积为，∴，解得：c=1．∵a2-b2=c2=1，即a2=b2+1，∴可将a2=b2+1代入，解得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为．（2）由（1），可知：F1（-1，0），F2（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2）．①若直线l的斜率不存在，则可得点A，B的坐标分别为，则=（-2，），=（-2，-）∴．②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l：y=k（x+1），代入椭圆方程，得：（1+2k2）x2+4k2x+2（k2-1）=0．∴△=16k4-8（1+2k2）（k2-1）=8k2+8＞0．∴，．∴===．又∵k2≥0，∴．综上①②可知，的取值范围为．解析：（1）由点P的坐标和△PF1F2的面积列出方程组求出a，b的值即可．（2）考虑直线l的斜率不存在的情况，当直线l的斜率存在时，设l：y=k（x+1），与椭圆方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），由数量积的坐标运算结合根与系数的关系把所求数量积表示为k的函数，然后求其取值范围．本题考查椭圆的综合问题，椭圆中的取值范围问题．解题的一般思路是：联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系进行整体代换和运算，由函数的性质求取值范围．本题属中档题．21.答案：解：（1）=，由f'（x）=0得x=1或x=a．当a=1时，f'（x）≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增．当a＜1时，函数f（x）在（-∞，a），（1，+∞）内单调递增，在（a，1）内单调递减．当a＞1时，函数f（x）在，（a，+∞）内单调递增，在（1，a）内单调递减．（2）证明：要证∀x∈[0，+∞），f（x）≥-1，即证x∈[0，+∞），f（x）min≥-1．①由（1）可知，当a＞1，x∈[0，+∞）时，f（x）min=min{f（0），f（a）}．f（0）=-1，．设，a＞1，则，∴g（a）在（1，+∞）单调递增，故，即f（a）＞-1．∴f（x）min=-1．②当a=1时，函数f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）min=f（0）=-1．③当3-e≤a＜1时，由（1）可知，x∈[0，+∞）时，f（x）min=min{f（0），f（1）}．又∵f（0）=-1，，∴f（x）min=-1．综上，当a≥3-e时，对∀x∈[0，+∞），f（x）≥-1．解析：（1）求出函数f（x）的导数，根据其正负讨论单调性，需按a与1的大小分类讨论．（2）要证f（x）≥-1，即证f（x）min≥-1，结合（1）中的单调性对f（x）的最小值进行分析即可．本题考查函数与导数的综合问题，考查分类讨论的数学思想方法．根据含参函数的导数符号求单调性时，往往需要按根的存在性、根的大小进行分类讨论．不等式的恒成立问题，往往通过转化为最值问题来求解，属于难题．22.答案：解：（1）由（α为参数，α∈[0，π]）．消去参数α，可得曲线C的普通方程为x2+y2=4（y≥0）．由ρ2（1+3sin2θ）=4，可得ρ2+3（ρsinθ）2=4，则x2+y2+3y2=4，则曲线E的直角坐标方程为.（2）设A（2cosα，2sinα），α∈[0，π]，其中t=2cosα，则B（2cosα，±sinα）,要使得△AOB面积的最大，则B（2cosα，-sinα）,∴==,∵2α∈[0，2π]，∴sin2α∈[-1，1],当，即时，△AOB的面积取最大值．解析：（1）消去参数α可得曲线C的普通方程；由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y可把曲线E的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）利用参数方程求出A，B的坐标，再求△AOB的面积及其最大值．本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查坐标系与参数方程的综合应用，是中档题．23.答案：解：（1）f（x）=3|x-1|+|x+1|=，当x=1时，f（x）取得最小值，即k=f（1）=2；（2）证明：依题意，m2+4n2=2，则m2+4（n2+1）=6．所以==，当且仅当，即m2=2，n2=0时，等号成立．所以．解析：（1）将函数表示为分段函数，再求其最小值；（2）利用已知等式构造出可以利用均值不等式的形式．本题考查求含绝对值函数的最值，由均值不等式求最值．含绝对值的函数或不等式问题，一般可以利用零点分类讨论法求解．已知或pa+qb（m，n，p，q是正常数，a，b∈R+）的值，求另一个的最值，这是一种常见的题型，解题方法是把两式相乘展开再利用基本不等式求最值．。