一．压轴题专题训练1.问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P，且PA=2，PB= 3，PC=1．求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′B P是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7 ．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P，且PA= 5 ，BP= 2 ，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．图3图1 图22.阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角△A BC 中，∠ A 、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c．过 A 作AD ⊥BC 于D（如图），则s inB= A D ，sinc= AD ，即AD=csinB ，AD=bsinC ，c b于是csinB=bsinC ，即 bsin Bcsin Cc a a b．同理有，sin C sin A sin A sin B．a b c∴⋯⋯⋯⋯⋯⋯（*）sin A sin B sin C即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（1）在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A ，运用上述结论（* ）和有关定理就可以求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程：用关系式求出第一步，由条件∠B；用关系式求出第二步，由条件∠C；用关系式求出第三步，由条件c．o（2）一货轮在 C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30 的方向上，随后货轮以28.4o海里/时的速度按北偏东45 的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西o70 的方向上（如图11），求此时货轮距灯塔A 的距离AB （结果精确到0.1．参考数据：sin 40o =0.643，sin 65o =0.906，sin70o =0.904，sin 75o =0.966）．3. 对于三个数a、b、c，M｜a，b，c｜表示这三个数的平均数，min { a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，如：M{ －1，2，3} 1 23343，min {－1，2，3} ＝－1；M{ －1，2，a} ＝1 2 a a3 31，m{ －1，2，a} ＝a(a1(a1),1),解决下列问题：(1)填空：min { sin30°，cos45°，tan30°} ＝________；若min { 2，2x＋2，4－2x} ＝2，则x 的取值范围是________；(2)①若M{ 2，x＋1，2x} ＝min { 2，x＋1，2x} ，那么x＝________；②根据①，你发现结论“若M {a，b，c} ＝min{ a，b，c}，那么________”(填a，b，c 大小关系)；③运用②，填空：若M{ 2x＋y＋2，x＋2y，2x－y} ＝min { 2x＋y＋2，x＋2y，2x－y} ，则x＋y＝________；2，y＝2－x 的图 (3)在同一直角坐标系中作出函数y＝x＋1，y＝(x－1)象(不需列表，描点)，通过图象，得出min { x＋1，(x－1)2，2－x}最大值为________．4.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S．△BCD应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，1 将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，4 请直接写出△ABC的面积．2bx a6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ax8(0)与x轴交于A、B两点、与月y轴交于点C经过点B的直线y x4与y轴交于点D，点P在抛物线的对称轴上，且P点的横坐标是1．(1)求该抛物线的解析式；(2)在第一象限的抛物线上有一个动点M，过点M作直线MN x轴于点N，交直线BD 于点E，若点M到直线BD的距离与BN的长度之比为22：1，求点M坐标；(3)如图2，若点P位于x轴上方，且PAB60，点Q是对称轴上的一个动点，将BPQ绕点P顺时针旋转60°得到船B'PQ'(B的对应点为B'，Q的对应点为Q')，是否存在点Q，使BQQ'的面积是34，若存在，请求出PQ的长：若不存在，说明理由．全等三角形问题中常见的辅助线的作法三角形辅助线做法图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相A 等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．1. 已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2. 以ABC 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰Rt ACE ，BD CBAD CAE 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系90 ,及数量关系．（1 ）如图①当ABC 为直角三角形时，A M 与DE 的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD 绕点A沿逆时针方向旋转(0< <90) 后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．3、如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥ACACBD4、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BDDAEBC5.D 为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F 。
（1）当MDN 绕点D转动时，求证DE=DF。
（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。
BAECMAF6.如图，等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，E 为AD 上一点，N以BE 为一边且在BE 下方作等边△BEF，连接CF．（1）求证：AE=CF ；（2）G 为CF 延长线上一点，连接BG ．若BG=5，BC=8，求CG 的长．7 如图，在梯形ABCD 中，A D∥BC，∠ABC=9 0°，DG⊥BC于G,BH⊥DC 于H，CH=DH ，点E 在AB 上，点F 在BC 上，并且EF∥DC。
(1)若AD=3，CG=2，求CD; (2)若CF=AD+BF ，求证：EF= 12CD.A DH EGB F C8. 已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，AB＝10，CD＝18，∠ADC＝60°，过BC上一点 E 作直线EH，交CD于点F，交AD的延长线于点H，且EF＝FH．A B（1）求梯形ABCD的面积；E （2）求证：AD＝DH＋BE．DCFH8 题图9. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点 E 在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE 的长．（2）若点 F 是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．C10．已知等腰Rt △ABC中，∠ACB= 90°，AC BC ，点G 在BC 上，连接AG，过C 作CF ⊥AG，垂足为点E，过点B作BF ⊥CF 于点F ，点D是AB的中点，连接DE 、DF ．E G（1）若∠CAG=30°，EG =1，求BG 的长； A D B （2）求证：∠AED=∠DFE F11. 阅读材料：（1）对于任意两个数a、b 的大小比较，有下面的方法：当a b 0时，一定有 a b ；当a b 0时，一定有 a b；当a b 0时，一定有 a b ．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵ 2 2 ( )( )a b a b a b ，a b 0 ∴（2 2a b ）与（a b）的符号相同当 2 2a b ＞0 时，a b＞0，得a b；当2 2a b =0 时，a b=0，得a b当 2 2a b ＜0 时，a b＜0，得a b解决问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了 3 张A4 纸，7 张B5纸；李明同学用了 2 张A4纸，8 张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y 的式子表示），W2= （用x、y 的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图 1 所示，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A．B两镇供气，已知A、B到l 的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=x km，现设计两种方案：方案一：如图 2 所示，AP⊥l 于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a AB AP ．1 方案二：如图 3 所示，点A′与点A关于l 对称，A′B与l 相交于点P，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度．①在方案一中，a1= km （用含x 的式子表示）；②在方案二中，a2= km 用含x 的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．(2)解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△D OE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE．∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S 四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△A BF=4×6﹣2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC==2，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OA′，BO=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BD=A′C=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△=2S△ADC=2S△A′D C=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．A BC。