席位公平分配问题
—Q值法的改进
摘要：本文为建立席位分配问题的公平合理方案．对经典Q 值法进行了研究并提出改进，构造了衡量相对不公平程度的新标准量。

通过对书本中的经典席位分配问题实例的计算，比较分析了多种席位分配方法的求解结果，并与经典的Q值法进行了公平性的比较。

结果表明改进的标准量更为合理，从而验证了该方法的有效性和合理性。

一、问题背景
席位分配问题是人类社会生活中相当普遍的一类资源分配问题，是数学在政治领域中应用的典型实例，其目标是在一个大集体对小集体进行某种资源分配时试图尽可能做到公平合理。

席位分配问题最关键之处是它的悖论观，无论选择怎样的分配方案，总会产生这样或那样的矛盾，著名的有以下几种悖论：亚拉巴马悖论、人口悖论和新州悖论。

同时，席位公平分配的关键是提出衡量公平度的一个量，即满足下述5条公理：
公理1(人口单调性)：一方的人口增加不会导致它失去一个名额。

公理2(无偏性)：在整个时间平均，每一方应接受到它自己应分摊的份额。

公理3(名额单调性)：总名额的增加不会使某一方的名额减少。

公理4(公平分摊性)：任何一方的名额都不会偏离其比例份额数。

公理5(接近份额性)：没有从一方到另一方的名额转让会使得这两方都接近于它们应得的份额。

然而，1982年M ．L ．Balinski 和H ．P ．Young 证明了一个B —Y 不可能定理，即绝对公平的分配(满足公理1～公理5)方案是不存在的，既然绝对公平的分配方案不存在，人们便致力于席位分配问题的相对公平的研究。

著名的Q 值法是1982年由
D ．N ．Burghes 和I ．Hunttey 等人提出的一种相对不公平衡量标准，该方法简单易行，且克服了其他方法的一些矛盾，被广泛的应用于资源公平分配问题中。

但不足之处是未考虑名额分配后的整体状况，而首先给每一方分配一个名额也是没有道理的。

基于此考虑，这里提出了一种新的衡量相对不公平的标准，不需要事先给每一方分配一个名额，其计算量与Q 值法相当，但比Q 值法更趋于公平。

通过实例比较了该方法与Q 值法及其它方法的求解结果，从而验证该方法的合理性和有效性。

二 公平标准的构造
1.1席位分配问题描述
席位分配问题是指：假设有m 方参加N 个可供分配的席位，
其中第i 方的人数为i p (i=1，2，…，m)，m 方的总人数为1m
i i p p ==∑，
第i 方所分配的席位为n i ，（i=1，2，…，m)，如何寻找一组整数
1n ，2n ，…… ，m n ，使得1m i i n N
==∑并且“尽可能”地公平。

理想的最公平分配方案是按人数比例的分配，即第i 方应分配的“份额”是i i p n N p =。

但i p N p 往往不是整数，而用“四舍五入”或取整的方法导致更不公平，由此提出了经典的Q 值法。

1.2 Q 值法
利用Q 值法导出一个席位分配的标准量
i Q ，，根据i Q 值 的大小确定下一个席位应
分配给那一方，具体操作如下：
首先给每一方分配一个席位，计算i Q (i =1，2，…，m)值，Q 值较大的一方优先获得下一个席位。

然后再计算i Q 值，Q 值较大的一方优先再获取一个席位，如此反复，直到所有席位分配完为止。

由于i i p n 和1i
i p n +分别是不给i 方增加一席和给i 方增加一席时该方席位代表的人数，而Q 值法恰是这两个数的几何平均值的平方，并且从算法描述可看出，可供分配的席位数N 必须能保证每一方至少能分配到一个席位，而没有考虑是否应该给某一方这个席位(可能出现该方根本不产生代表)，因此Q 值法具有一定的局限性。

1.3 新的衡量标准
Q 值法的定义式
所示的相对不公平值只反映了i 方本身增加或不增加一席的综合情况，并没有把i 方放到所有各方构成的整体中去考虑，也没有反应相对于本方每席位代表和人数的比例关系与另外一方每席位代表和人数的比例是否一致或相接近，因此Q 值法尚需进一步改进。

定义 设有m 方共P 人参与总席位为N
的席位分配，第i 方的人数为i p (i =l ，2，…，m)，第i 方所分
配的席位为i n (i=1，2，…，m)，称2()i i i i p N p n Q p -=，i = 1，
2，…，m 为第i 方的Q 值(改进的Q 值)。

新标准量的分子表明第i 方应分配的份额i p N
p 与实际分配
的席位i n 的接近程度，如果_i i p N n p 为零，则分配是完全公平的。

i Q 的值表示相对于本方总人数而言的不公平程度，若_i i p N n p 与_j
j p N n p 接近，而第j 方比第i 方人数多很多，则对第i 方分配i n 个席位相对于第j 方分配
j n 个席位而言，i 方感到不公平。

因此i Q 的值越大，偏离理想状态越远，越不公平。

2
(1)i i i i p Q n n =+
1.4改进的Q 值法
根据前面的讨论，改进的Q 值法计算如下：
Step 1 初始化：每一方分配席位为零，即
(0)0i n = (i=1，2，…，m ，)，k=0；
Step 2 终止判断：若()1
m
k i i n N ==∑，即席位已分配完，结束；
否则转Step 3； Step 3 计算2()i i i i p N p n Q p -=的值， i=1，2，…，m ；
Step 4 比较i Q (i 一1，2，…，m)的大小，对Q 较大的一方增加一个席位，即令{}1|max i i m s i Q ≤≤=，(1)()1k k s s n n +=+；
Step 5 k=k+1，转Step 2。

改进的Q 值法克服了Q 值法首先给每一方分配一席位的不合理规定，并且考虑了每一方每席位所代表的人数，每席位代表人数多的越不公平，所以优先得到一个席位。

三应用实例
为了验证改进的Q值法的合理性和有效性，选择书中的典型例子，并与经典Q值法的计算过程及相关文献中计算结果进行了比较。

书中所给的例子，假设说，有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。

那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。

公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个座位。

现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系人数如表1表2第2列所示，仍按比例（原表1第3行）分配席位时出现了小数（原表1第4行）。

在将取得整数的19席分配完毕后，三系同意参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分割占有10、6、4个席（原表1第5行）
原表1：按照比例并参照分配惯例的席位分配
但后来会议决定下一届增加1席，她们按照上述办法重新分配席位，计算结果见原表2，显然这个结果对丙系太不公平了，因为总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席：
原表2：增加1席后按照比例并参照惯例的席位分配
在这里，我们用Q值法来计算。

其中，m=3，N=21，p=200，
1103
p=
，263
p=
，334
p=。

利用改进Q值法，在Matlab7．0下编程，计算结果见表1。

Q值法首先给每个系分配一个席位，计算结果见表2。

从具体操作来看，Q值法是在首先给各系分配一个席位后，从第4个席位开始分配的，而改进的Q值法无需这一不合理规定，直接从第1个席位开始，两种方法的结果是一致的。

虽然在这里Q值法和改进Q值法计算结果是一致的，但是两种方法的结果不总是一致的。

同样是这道题目根据按比例的原则，其分析结果如表4所示。

而利用Q值法和改进Q值法的计算结果如表5所示。

哪种分配方案更公平呢?首先分析一下Q值法和改进Q值法每席位代表的人数，分析如表6所示。

Q值法每席位代表的人数最大值与最小值(即甲系与乙系)相差34．25，改进Q值法每席位代表的人数最大值与最小值(即丙系与乙系)相差29．67，表明改进Q值法更公平。

另一方面，两种方法与整个分配方案平均每席位代表人数的偏差平方和分别为
()222
-+-+-=
117.51000/11(83.251000/11)(86.401000/11)786.07 ()222
78.331000/11(83.251000/11)(108.001000/11)508.91
-+-+-=
从以上两方面可以看出，改进Q值法的确比Q值法更公平、更合理。