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2018年江苏高考数学全真模拟试卷附答案

(第3题)2018年江苏高考数学全真模拟试卷(1)试题Ⅰ一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案直接填写在答题卡相应.....位置上.... 1.已知集合{}1A =,{}1,9B =,则A B =U ▲ . 2.如果复数2i12ib -+(i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数,那么b = ▲ . 3.对一批产品的长度(单位:mm )进行抽样检测,样 本容量为400,检测结果的频率分布直方图如图 所示.根据产品标准可知:单件产品的长度在区间 [25,30)内的为一等品,在区间[20,25)和[30, 35)内的为二等品,其余均为三等品.那么样本中 三等品的件数为 ▲ . 4.执行下面两段伪代码.若Ⅰ与Ⅱ的输出结果相同,则Ⅱ输入的x 的值为 ▲ .5.若将一枚质地均匀的骰子(各面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷两次,向上的点数依次为m ,n ,则方程220x mx n ++=无实数根的概率是 ▲ . 6.如图1,在△ABC 中,CE 平分∠ACB ,则AEC BEC S ACS BC∆∆=.将这个结论类比到空间:如图2,在三棱锥A BCD -中,平面DEC 平分二面角A CD B --且与AB 交于点E ,则类比的结论为 ▲ .7.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 ▲ .8.已知集合{}()0A x x x a =-<,{}27180B x x x =--<.若A B ⊆,则实数a 的取值范围是 ▲ . 9.已知函数24()2.x x a f x x x x a +<⎧=⎨-≥⎩,,,若对任意的实数b ,总存在实数0x ,使得0()f x b =,则实数a 的取值范围是 ▲ .10.若函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-,且当[]1 1x ∈-,时,2()f x x =,则函数(第6题)1x ← 2x x ← 3x x ← Print x I Read x 26y x ←+ Print y (第4题)4()() log F x f x x =-的零点个数为 ▲.11.若πtan 2tan 5α=,则3πcos()10πsin()5αα-=- ▲ .12.如图,在△ABC 中,D 为BC 的中点,E 为AD 的中点,直线BE 与边AC 交于点F .若6AD BC ==,则AB CF ⋅=u u u r u u u v▲ .13.如图,点C 在半圆的直径AB 的延长线上,2AB BC ==,过动点P 作半圆的切线PQ .若3PC PQ =,则△PAC 面积的最大值为 ▲ .14.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0,等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数.若1a d =,21b d =,且222123123a a ab b b ++++是正整数,则q 的值是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,且sin 6sin a C c B =. (1)求ab的值; (2)若126b c ==,,求cos C 及△ABC 的面积.(第12题)(第13题)如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,平面11A ABB ⊥平面ABCD ,且∠π2ABC =. (1)求证:BC ∥平面11AB C ; (2)求证:平面11A ABB ⊥平面11AB C .17.(本小题满分14分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度),容器的中间为圆柱形,左、右两端均为半球形.按照设计要求,容器的体积为80π3m 3,且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3000元,半球形部分每平方米的建造费用为c (c >3000)元.设该容器的建造费用为y 元. (1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时r 的值.(第16题) (第17题)已知椭圆2222 1(0)x y C a b a b+=>>:的右焦点为F ,过椭圆C 的中心的弦PQ 的长为2,且∠90PFQ =o,△PQF 的面积为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)设12A A ,分别为椭圆C 的左、右顶点,S为直线x =上的一个动点,直线1A S 交椭圆C 于点M ,直线2A S 交椭圆C 于点N ,若12S S ,分别为△12A SA ,△MSN 的面积,求12S S 的最大值. 19.(本小题满分16分)已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,其前n 项和为n S ,且1564a a =,5348S S -=.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若存在正整数(5)m l m l <<,,使得5 5m l a a a ,,成等差数列,求m l ,的值; (3)设 k m l *∈N ,,,k m l <<,对于给定的k ,求5 k m l a a a ,,经适当排序后能构成等差数列的充要条件.20.(本小题满分16分)已知函数211()log 22a f x x x =+-,且曲线()f x 上任意一点处的切线的斜率不小于2. (1)求a 的最大值;(2)当a 取最大值时,若()()2()g x f x kx k =-∈R 有两个极值点12x x ,,且12x x <,求证:2()()4g x g k +<-.试题Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题........,并在相应的答题区域.........内作答....若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交BC 的延长线于点D ,延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ,连接FB ,FC . (1)求证:FB FC =; (2)求证:2FB FA FD =⋅.B .[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)在平面直角坐标系中,已知A (0,0),B (2,0),C (2,2),D (0,2),先将正方形ABCD 绕原点逆时针旋转90°,再将所得图形上所有点的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变,求连续两次变换所对应的矩阵M . C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为cos 2sin 2x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩,(θ为参数,0r >).以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为π2sin()104ρθ++=.(1)求圆C 的圆心的极坐标;(2)当圆C 与直线l 有公共点时,求r 的取值范围.(第21-A 题)D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)设a b ,为互不相等的正实数,求证:3334()()a b a b +>+.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)如图,在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,E 是线段PC 的中点.(1)求异面直线AP 与BE 所成角的大小;(2)若点F 在线段PB 上,且二面角F DE B --的平面角的正弦值为3,求PF PB的值.23.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,通项公式为1n a n =,且2211()2n n n S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩,,,. (1)计算(1)(2)(3)f f f ,,的值;(2)比较()f n 与1的大小,并用数学归纳法证明你的结论.(第22题)2018年江苏高考数学全真模拟试卷(1)试题Ⅰ参考答案一、填空题 1.{}1,9 2.23-3.100 4.0 5.7366.A CDE ACD B CDE BDC V S V S -∆-∆=7.3 8.[]2,9- 9.[]5,4- 10.4 11.3 12.18- 1314.12二、解答题15.解:(1)因为sin 6sin a C c B =,所以6ac bc =, ……………………………………………………4分 所以6a b =,即6ab=. ……………………………………………………6分 (2)因为6ab=,1b =, 所以6a =,故2223612611cos 226112a b c C ab +-+-===⨯⨯,………………………………………………10分所以sin 12C =因此1sin 24ABC S ab C ∆==. ……………………………………………………14分 16.证明:(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中,BC ∥11B C , 又因为BC ⊄平面11AB C ,11B C ⊂平面11AB C ,所以BC ∥平面11AB C . ……………………………………………………6分 (2)因为平面11A ABB ⊥平面ABCD ,平面11A ABB I 平面ABCD AB =,BC ⊂平面ABCD ,又由∠π2ABC =知AB ⊥BC , 所以BC ⊥平面11A ABB . ……………………………………………………10分 又因为BC ∥11B C ,故11B C ⊥平面11A ABB . ……………………………………………………12分 而11B C ⊂平面11AB C ,所以平面11A ABB ⊥平面11AB C . ……………………………………………………14分 17.解:(1)设该容器的体积为V . 由题意知23480πππ33V r l r =+=, 故32224π8044203()π333V r l r r r r r -==-=-.由于2l r ≥,因此02r <≤,所以建造费用2224202π30004π2π()30004π3y rl r c r r r c r=⨯+=⨯-⨯+ 2160000π4π(2000)02c r r r=-+<≤,.…………………………………………………6分 (2)由(1)得:322160000π8π(2000)200008π(2000)()022000c y c r r r r r c -'=--=-<≤-,. 由于3000c >,因此20000c ->. 当32000002000r c -=-时,r =m =,则0m >,所以2228π(2000)()()c y r m r rm m r-'=-++. ① 当02m <<,即4500c >时,易得r m =是函数y 的极小值点,也是最小值点. ② 当2m ≥,即30004500c <≤时,由于(]0 2r ∈,,故0y '≤,因此函数y 单调递减, 所以2r =是函数y 的最小值点.综上,当30004500c <≤,且建造费用最小时,2r =;当4500c >,且建造费用最小时,r =. …………………………………………………14分18.解:(1)因为弦PQ 过椭圆C 的中心,且∠90PFQ =o, 所以112c OF PQ ===. 不妨设0000(,)(,0)P x y x y >,所以000121012PFQ S OF y y x b ∆=⋅==⇒=⇒=, 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. …………………………………………………6分 (2)由(1)得:1(A,2A,设)S t , 可得直线1A S的方程为:x y =跟椭圆C 的方程2212x y +=联立得:221812(2)0y y t t+-=, 解得12260,9ty y t ==+, 代入直线1A S的方程得:2269t x t ===+,所以2226(,)99tM t t ++. …………………………………………………9分 同理可得直线2A S的方程为:x y t=, 跟椭圆C 的方程2212x y +=联立得:2224(2)0y y t t++=, 解得12220,1ty y t ==-+, 代入直线2A S的方程得:222222()111t x t t t t =⋅-=-+=+++,所以22)1tN t -+. ………………………………………………12分 因此121211221sin 21sin 2SA SA A SA S SA SA S SM SN SM SN MSN ⋅⋅∠⋅==⋅⋅⋅∠=222222222(9)(33)2911433(3)33t t t t t t t ⎡⎤+++⎢⎥++⎣⎦=⋅≤⋅=+++,当且仅当22933t t +=+,即t ==”.………………………………………16分 19.解:(1)因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列, 所以设数列{}n a 的公比为q ,且0q >.因为215364a a a ==,且30a >,所以38a =. 又因为5348S S -=,所以2458848a a q q +=+=,解得2q =,所以2nn a =. …………………………………………………3分(2)因为5 5m l a a a ,,成等差数列, 所以510m l a a a =+,即510222m l ⋅=+, 所以66522m l --=+, 故62m -,62l -中有且只有一个等于1.因为正整数m ,l 满足5m l <<,所以662124m l --⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得68m n =⎧⎨=⎩. …………………………………………………8分(3)设5k a ,m a ,l a 经适当排序后能构成等差数列. ① 若25k m l a a a ⋅=+,则10222k m l⋅=+,所以11522m k l k ----=+.因为正整数k ,m ,l 满足k m l <<,所以110l k m k -->--≥,且11l k --≥, 所以11221l k m k ---->≥,122l k --≥.即112124m k l k ----⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得13m k l k =+⎧⎨=+⎩. …………………………………………………10分 ② 若25m k l a a a =+,则22522m k l ⋅=⋅+,所以1225m k l k +---=(*).因为12m k +-≥,2l k -≥,所以12m k +-与2l k -都为偶数,而5是奇数,所以等式(*)不成立,从而等式25m k l a a a =+不成立. …………………………………………………12分 ③ 若25l k m a a a =+,则同②可知,该等式也不成立.综上所述,1m k =+,3l k =+.故5k a ,m a ,l a 为5k a ,1k a +,3k a +,即5k a ,2k a ,8k a .调整顺序后易知2k a ,5k a ,8k a 成等差数列.……………………………………………15分 因此,5k a ,m a ,l a 经适当排序后能构成等差数列的充要条件为13m k l k =+⎧⎨=+⎩.………16分 20.解:(1)由题意知1()ln f x x x a'=+. 当01a <<时,()2f x '≥不能恒成立,则1a >,此时1()2ln f x x x a '=+≥,即ln 1a ≤,故1e a <≤. 因此a 的最大值为e . …………………………………………………4分 (2)因为211()()2ln 2(0)22g x f x kx x x kx x =-=+-->, 所以1()2g x x k x'=+-. ① 当1k ≤时,1()22220g x x k k k x '=+-≥=-≥, 所以函数()g x 在(0,+∞)上单调递增,故函数()g x 在(0,+∞)上无极值.……6分③ 当1k >时,2121()2x kx g x x k x x-+'=+-=. 由()0g x '=得2210x kx -+=,24(1)0k ∆=->.设方程2210x kx -+=的两根分别为1x ,2x (12x x <),则122x x k +=,121x x =,其中1201x k x k <=<<=+所以()g x 在(0,1x )上单调递增,在(1x ,2x )上单调递减,在(2x ,+∞)上单调递增,从而()g x 有两个极值点1x ,2x . …………………………………………………9分222221()ln 222x g x x kx =+-- 2221221ln ()22x x x x x =+-+- 22222211ln ()22x x x x x =+-+- 2223ln 22x x =--, 构造函数23()ln (1)22x h x x x =-->,则1()0h x x x'=-<, 所以()h x 在(1,+∞)上单调递减,且(1)2h =-,故2()2g x <-.…………………12分 又231()ln (1)22k g k k k =-->, 构造函数231()ln (1)22x x x x ϕ=-->,则1()30x x xϕ'=-<, 所以()x ϕ在(1,+∞)上单调递减,且(1)2ϕ=-,故()2g k <-.…………………15分 所以2()()4g x g k +<-. …………………………………………………16分试题Ⅱ(附加题)参考答案21-A .证明:(1)因为AD 平分∠EAC ,所以∠EAD =∠DAC .因为四边形AFBC 是圆的内接四边形,所以∠DAC =∠FBC .因为∠EAD =∠FAB =∠FCB ,所以∠FBC =∠FCB ,所以FB =FC . …………………………………………………5分(2)因为∠FAB =∠FCB =∠FBC ,∠AFB =∠BFD ,所以△FBA ∽△FDB , 所以FB FA FD FB=,即2FB FA FD =⋅. ………………………………………………10分21-B .解:设将正方形ABCD 绕原点逆时针旋转90°所对应的矩阵为A , 则01cos90sin 9010sin 90cos90-⎡⎤-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦o o o o A . ………………………………………………3分 设将所得图形上所有点的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变对应的矩阵为B , 则10102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B . …………………………………………………6分 所以连续两次变换所对应的矩阵10010111100022-⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦M BA =.……………10分21-C .解:(1)由圆C :cos 2sin 2x r y r θθ=+⎧⎨=+⎩,得222(2)(2)x y r -+-=, 所以圆C 的圆心的直角坐标为(2,2), 故圆C的圆心的极坐标为,π)4. ………………………………………………5分(2)将直线lπsin()104θ++=化为10x y ++=,从而圆心(2,2)到直线l的距离为2d ==. 因为圆C 与直线l 有公共点,所以d r ≤,即2r ≥,故r 的取值范围是52,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. ………………………………………………10分 21-D .证明:因为0a >,0b >,所以要证3334()()a b a b +>+,只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+,即要证2224()()a ab b a b -+>+,只需证23()0a b ->.而a b ≠,故23()0a b ->成立. ………………………………………………10分22.解:(1)在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD , 所以DA ,DC ,DP 两两垂直, 故以{},,DA DC DP u u u r u u u r u u u r 为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -. 因为PD DC =,所以DA DC DP ==.不妨设2DA DC DP ===,则D (0,0,0),A (2,0,0),C (0,2,0),P (0,0,2),B (2,2,0). 因为E 是PC 的中点,所以E (0,1,1),故AP u u u r =(-2,0,2),BE u u u r =(-2,-1,1)所以cos ,AP BE 〈〉u u u r u u u r =AP BE AP BE⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =3, 从而,AP BE 〈〉u u u r u u u r =π6. 因此异面直线AP 与BE 所成角的大小为π6.………………………………………………4分 (2)由(1)可知DE u u u r =(0,1,1),DB u u u r =(2,2,0),PB u u u r =(2,2,-2). 设PF u u u r =PB λu u u r ,则PF u u u r =(2λ,2λ,-2λ),从而DF u u u r =DP u u u r +PF u u u r =(2λ,2λ,2-2λ).设m =(1x ,1y ,1z )为平面DEF 的一个法向量,则00DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m ,即1211122(22)00x y z y z λλλ++-=⎧⎨+=⎩. 取1z =λ,则1y =-λ,1x =2λ-1,所以m =(2λ-1,-λ,λ)为平面DEF 的一个法向量.…………………………………6分 设n =(2x ,2y ,2z )为平面DEB 的一个法向量,则00DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ,即22222200x y y z +=⎧⎨+=⎩. 取2x =1,则2y =-1,2z =1,所以n =(1,-1,1)为平面DEB 的一个法向量.………………………………………8分 因为二面角F DE B --, 所以二面角F DE B --即cos ,⋅〈〉===⋅m nm n m n , 化简得241λ=.因为点F 在线段PB 上,所以0≤λ≤1,故λ=12,即PF PB =12.……………………………………………………………………10分23.解:(1)213(1)122f S ==+=, 4111113(2)23412f S S =-=++=, 62111119(3)345620f S S =-=+++=.………………………………………………………3分 (2)由(1)知(1)1f >,(2)1f >.下面用数学归纳法证明:当3n ≥时,()1f n <.由(1)知当3n =时,()1f n <.……………………………………………………………5分 假设当(3)n k k =≥时,()1f n <,即111()112f k k k k=++⋅⋅⋅+<+,那么11111(1)1222122f k k k k k k +=++⋅⋅⋅+++++++ 1111111()1222122k k k k k k k=+++⋅⋅⋅+++-++++ 11111()()212222k k k k<+-+-++ 2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =--<++, 所以当1n k =+时,()1f n <也成立.………………………………………………………8分 因此,当3n ≥时,()1f n <.综上,当1n =和2n =时,()1f n >;当3n ≥时,()1f n <.…………………………10分。

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