一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

1、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； （3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解； （4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。

2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： （1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：abx x -=+21，ac x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。

（2）不解方程，求某些代数式的值。

（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。

（4）已知两数和与积，求这两个数。

（5）二次三项式的因式分解。

注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。

∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例1、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。

例2、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。

例3、已知方程的两实数根为、，不解方程求下列各式的值。

x x 2310+-=αβ()()（）；（）；（）；（）；（）；（）12341156343223322αβαβαββααβαβαβαββ+++---++例4、()已知关于的方程x x k x k 2220-++= （1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。

（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。

走进中考专题训练一、填空题：1．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2= ，x 1x 2= ；若方程x 2+px+q=0的两根为,,βα则αβ= ，=+βα 。

2．若方程2x(x+3)=1的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2= ，x 1x 2= ，x 12x 2+ x 1x 22= ，x 12+ x 22= ，2144x x += 。

3．关于x 的一元二次方程013222=+--a x x 的一个根为2，则a 的值为 。

4．已知一元二次方程022=--a ax x 的两根之和为4a －3，则两根之积为 。

5．当m 时，一元二次方程042=--m x x 有实根；当m 时，两根同为正；当m 时，两根异号。

6．以31,21--为根的一元二次方程为 。

7．已知x 1，x 2是方程0362=++x x 的两个实数根，则2112x x x x +的值为 。

8．如果一元二次方程062=+-mx x 的两个根分别比一元二次方程062=++my y 的两个根均大5，则m 的值为 。

二、解答题：9．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：(1) 0322=+-x (2) 0372=--x x (3) 5)2(3=-x x10．k 取何值时，方程kx 2－（2k+1）x+k=0，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根．11．已知关于x 的方程012)2(2=-+++m x m x .（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解。

12．已知关于x 的方程04)12(22=-++-m x m x ，如果方程的两个不相等的实数根的平方和等于15，求m 的值。

13．已知关于x 的一元二次方程022=--a x x .（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求a 的取值范围； （2）如果此方程有两个实数根为x 1，x 2，且满足321121-=+x x ，求a 的值。

14．设x 1，x 2是关于x 的一元二次方程024222=-+++a a ax x 的两个实数根，当a 为何值时，2221x x +有最小值？最小值是多少？自我检测1．方程（m+2）x ｜m ｜+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．m≠±2B ．m=2C ．m=－2D ．m=±2 2．已知关于x 的方程41x 2－（m －3）x+m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－1 3．k 为实数，则关于x 的方程x 2+2（k+1）x+k －1=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．不能确定4．已知关于x 的方程（2m －1）x 2－8x+4=0有两个实数根，则非负整数m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0、1、2 5．对任意实数m ，关于x 的方程（m 2+1）x 2－2mx+m 2+4=0一定（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．不能确定6．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x+1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k≤1C ．k ＜1且k≠0D ．k≤1且k≠0 7．若方程0232=+-b ax x 的两根和为4，积为－2，则a ，b 分别为（ ）A ．－12与-3B ．4与－3C ．12与－3D ．－4与－38．已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一个根为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．29．试证明：关于x 的方程（a2－8a+20）x2+2ax+1=0，不论a 取何值，该方程都是一元二次方程．一元二次方程之判别式法与韦达定理（二）走进中考专题训练一、填空题1．若方程（m －1）x ｜m ｜+1－2x=3是关于x 的一元二次方程，则m=__________． 2．对于方程（m －1）x 2+（m+1）x+3m+2=0，当m__________时，为一元一次方程；当m____时为一元二次方程．3．一元二次方程ax 2+bx+c=0至少有一个根为零的条件是____________． 5．如果m 为任意实数，则一元二次方程x 2－mx+21m 2+m+32=0的解的情况是____________． 6．k ＜1时，关于x 的方程2（k+1）x 2+4kx+2k －1=0的根的情况是__________．7．若x=a （a≠2）是关于x 的一元二次方程（k －1）x 2+2kx+k+3=0的一个实数根，则k 的取值范围是_________________________．8．若关于x 的方程（m －1）x 2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根，则Δ=_____________________，则m 的取值范围是____________________________________．二、选择题9．方程（m+2）x ｜m ｜+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．m≠±2 B ．m=2 C ．m=－2 D ．m=±2 10．已知关于x 的方程41x 2－（m －3）x+m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 11．k 为实数，则关于x 的方程x 2+2（k+1）x+k －1=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．不能确定12．已知关于x 的方程（2m －1）x 2－8x+4=0有两个实数根，则非负整数m 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0、1、2 13．对任意实数m ，关于x 的方程（m 2+1）x 2－2mx+m 2+4=0一定（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．不能确定 14．已知关于x 的方程（b+c ）x 2+2（a －c ）x －43（a －c ）=0有两个相等的实数根，则以a 、b 、c 为三边长的三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．不能确定 15．若关于x 的方程x 2－（42+k ）x+k=0有两个不相等的实数根，则化简k+2+442+-k k 的值为（ ）A ．4B ．2kC ．－4D ．－2k16．若关于x 的一元二次方程kx 2－2x+1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1B ．k≤1C ．k ＜1且k≠0D ．k≤1且k≠0 三、解答题17．解关于x 的方程2x 2+（3m －n ）x －2m 2+3mn －n 2=0．18．若两个关于x 的方程x 2+x+a=0与x 2+ax+1=0有一个公共根，求a 的值．19．试证明：关于x 的方程（a 2－8a+20）x 2+2ax+1=0，不论a 取何值，该方程都是一元二次方程．21．方程x 2－（k+1）x+41k=0能否有相等的实数根．若有请求出来．22．已知一元二次方程（ab －2b ）x 2+2（b －a ）x+2a －ab=0有两个相等的实数根，求ba 11 的值．自我检测1. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ） A. x x 2230+-= B. x x 2230-+= C. 22302x x --= D. 36102x x -+=2. 如果一元二次方程x x 2320+-=的两个根为x x 12、，那么x x 12+与x x 12的值分别为（ ） A. 3，2B. --32，C. 32，-D. -32，3. 如果方程26302x x -+=的两个实数根分别为x x 12、，那么x x 12的值是（ ） A. 3B. -3C. -32D.324. 如果x x 12、是方程x x 2310-+=的两个根，那么1112x x +的值等于（ ） A. -3B. 3C.13D. -135. 已知关于x 的方程x k x k 2260-++-=()有两个相等的正实数根，则k 的值是（ ） A. 2B. -10C. 2或-10D. 256. 若方程x x m 280-+=两实数根的平方差为16，则m 的值等于（ ） A. 3B. 5C. 15D. -157. 如果x x 12、是两个不相等的实数，且满足x x 12121-=，x x 22221-=，那么x x 12等于（ ） A. 2B. -2C. 1D. -18. 对于任意实数m ，关于x 的方程()()m x mx m 2221240+-++=一定（ ） A. 有两个正的实数根 B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根。