一元二次方程根的判别式和韦达定理
知识点一、一元二次方程根的判别式
一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆．
（1）当△>0⇔一元二次方程有2
个不相等的实数根；1x =
2x =
（2）当△=0⇔一元二次方程有2个相等的实数根；122b x x a
==-
（3）当△<0⇔一元二次方程没有实数根．
例1：下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A ．x 2+2x +1=0
B ．x 2+x +2=0
C ．x 2﹣1=0
D ．x 2﹣2x ﹣1=0
【变式一】不解方程，判断一元二次方程2210x ax a -++=的根的情况是（ ）．
A ．没有实数根
B ．只有一个实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．有两个不相等的实数根
例2．关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x +1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．
【变式一】关于x 的方程()22210m x x ++-=有两个不等的实根，则m 的取值范围是
知识点二、韦达定理
1．如果一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两根为12x x 、，那么有：1212b x x a c x x a ⎧
+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
．
例3：已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则α+β-αβ的值是（ ）
A ．3
B ．1
C ．-1
D ．-3
知识点&例题
【变式一】已知一元二次方程22210x x +-=的两个根为1x ，2x ，且1x ＜2x ，下列结论正确的是（ ）
A ．1x + 2x =1
B ．1x •2x =-1
C ．|1x |＜|2x |
D ．21112
x x +=
【变式二】已知1x ，2x 是关于x 的方程230x bx +-=的两根，且满足121235x x x x +-=，那么b 的值为（ ）
A ．4
B ．-4
C ．3
D ．-3
2、利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形
①()2
221212122x x x x x x +=+-；
例4：设1x 、2x 是一元二次方程22410x x --=的两实数根，则的2212x x +值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根，则2212x x + = ．
【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣6=0的两根，则α2+β2= ． ②()()2
21212124x x =x x x x -+-；
例5：设1x 、2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣1=0的两实数根，则()2
12x x -的值为 ． 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程x 2﹣5x ﹣6=0的两根，则()212x x - = ． 【变式二】若α、β是一元二次方程x 2+7x ﹣6=0的两根，则()2
α-β= ．
③12x x =-±
例6：设1x 、2x 是一元二次方程23450x x -+=的两实数根，则12x x -的值为 ． 【变式一】设1x ，2x 是一元二次方程21
5102
x x --=的两根，则12x x - = ．
【变式二】若α、β是一元二次方程2250x x +-=的两根，则α-β= ．
④
12x x -
例7：若12x x 、是方程2350x x +-=的两根，那么12x x -=
【变式一】已知12x x 、是关于x 的一元二次方程2-5+0x x a =的两个实数根，且125x x -=，则a =
【变式二】已知一元二次方程x 2﹣4x ﹣k=0的两根分别为m ，n ，且6m n -=，求k 的值． ⑤12
1212
11x x x x x x ++=
⋅；
例8． 已知12x x 、是方程2310x x --=的两根，则
12
11
x x += ． 【变式一】已知一元二次方程2430x x --=的两根分别为m ，n ，则11
m n
+的值为 ． 【变式二】若非零实数m ，n （m≠n ）满足220160m m --=，220160n n --=，则11
m n
+= ．
⑥()2
22121212222222
121212211
x x x x x x =x x x x x x +-++=⋅⋅；
例9：若12x x 、是方程2350x x +-=的两根，那么
22
1211
x x +
=_________． 【变式一】设12x x 、是一元二次方程2x 2﹣4x ﹣1=0的两实数根，则22
12
11
x x += ． 【变式二】一元二次方程2230x x --=的解是12x x 、，那么2212
11
x x +=_________．
⑦()2
221212
2112121212
2x x x x x x x x x x x x x x +-++==⋅⋅；
例10：设x 1、x 2是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则
21
12
x x x x +
的值是（ ） A ．﹣6 B ．﹣5 C ．﹣6 或﹣5 D ．6或5
【变式一】若方程x 2﹣3x ﹣4=0的两根分别为x 1和x 2，则2112
x x
x x +的值是（ ）
A ．174
B ．34-
C ．34
D ．174
- 【变式二】若α，β是方程2220x x --=的两个实数根，则2112
x x
x x + = ．
⑧
12x x +
例12：已知关于x 的方程()22+32+k 10x k x -+=的两个实数根分别是12x x 、，当127x x +=时，那么k 的值是 ．
【变式一】关于x 的一元二次方程()222310x k x k --++=有两个不相等的实数根12x x 、．
（1）求k 的取值范围； （2）求证：10x <，20x <；
（3）若12126x x x x --=，求k 的值．
【变式二】已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k ++++=有两个实数根12x x 、．
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若12x x +=k 值．
例13：已知：关于x 的方程()241210x k x k +++-=
（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若1x ,2x 是方程的两实数根,且()()122223x x k --=-,求k 值
【变式一】已知k 为实数，关于x 的方程为()22210x k x k -++=．
（1）请判断x =﹣1是否可为此方程的根，说明理由．
（2）设方程的两实根为1x ，2x ，当1212221x x x x ++=时，试求k 的值．
1、关于x 的方程260x mx ++=的一个根为-2，则另一个根是（ ）
A ．-3
B ．-6
C ．3
D ．6
2、设α，β是方程2910x x ++=的两根，则()()222009120091ααββ++++的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2000
D ．4000000 3、设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为（ ）
A ．2320x x m ---=
B ．2320x x m +--= C
．220x x -=
D ．220x x += 4、若α，β是一元二次方程23290x x +-=的两根，则
βα
αβ
+的值是（ ） A ．
427 B ．427- C ．5827- D ．5827
5、若1x ，2x 是方程22210x mx m m -+--=的两个根，且12121x x x x +=-，则m 的值为（ ）
A ．-1或2
B ．1或-2
C ．-2
D ．1 6、已知实数a 、b （a≠b ）分别满足222a a +=，222b b +=．求
11
a b
+的值．
7、已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +-+=的两个不相等的实数根α、β满足
1
1
1α
β
+
=，求m 的值．
课后作业
8、已知关于x 的方程()222310x k x k --++=有两个不相等的实数1x 、2x ．
（1）求k 的取值范围；
（2）若1x 、2x 满足121223x x x x +=-，求k 的值．
9、已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++=．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根分别是1x ，2x ，且满足1212x x x x +=，求m 的值．
10、已知关于x 的一元二次方程()()222220x m x m m --+-=
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为1x ，2x ，且221210x x +=，求m 的值。