一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。

时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为补充：0≥∆时，方程有2个解，但不知道两个解是否相等。

例题讲解例1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。

例2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

小结：对于求一元二次方程中字母的取值或取值范围问题，一定要考虑全面。

特别注意“0≠a ”！例3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

小结：这一类的题要注意3个方面：0≠a ，∆与0的关系，另外1x 和2x 间的数量关系课堂练习1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。

2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。

3、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、 762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠25、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根7、 m 取何值时，方程()0112)2(22=++--x m x m （1）有两个不相等的实数根 （2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根8、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。

9、已知关于x 的方程022=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、n 的值。

10、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4），并说明理由。

知识点2.根与系数的关系（韦达定理）1.如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则ac x x a b x x =⋅-=+2121, 2.利用两根构造一元二次方程：x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0补充公式：()2122122212x x x x x x -+=+；()2221222112x x x x x x +-=+说明：①根与系数的关系必须是在方程有解的情况下才能够应用。

即：应用根与系数的关系时，还要考虑ac b 42-的情况题型1、求待定系数及另一根例1.已知3-2是方程x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.例2.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 两根之积为12，两根的平方和为25，写出符合此条件的一个方程 。

例 3.若关于x 的一元二次方程22430x kx k ++-=的两个实数根分别是12,x x ,且满足1212x x x x +=.则k 的值为 。

例 4.关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。

小结：注意利用韦达定理求另一根快捷简便，并学会利用根之间的关系列所求字母的方程 题型2.根与系数的关系与判别式的应用例1.已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

例2.已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。

小结：利用韦达定理和题目所给根之间关系的条件解出的字母取值，一定要经历0≥∆和0≠a 的考验课堂练习1．已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）A ．－3或1B ．－3C ．1D ．32．若,αβ是方程2220050x x +-=的两个实数根，则23ααβ++的值为（ ）A ．2005B ．2003C ．－2005D ．40103．若关于x 的一元二次方程2x 2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根x 1，x 2，且x 1·x 2＞x 1＋x 2－4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ＞53-B ． m ≤12C ．m ＜53-D ．53-＜m ≤124.关于x 的方程20x px q ++=的两根同为负数，则（ ）A ．0p >且q >0B ．0p >且q <0C ．0p <且q >0D ．0p <且q <05.如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q=0两个实数根分别为x 1=3，x 2=1，那么这个一元二次方程是（ ）A ．x 2+3x +4=0B ．x 2-4x +3=0C ．x 2+4x -3=0D ．x 2+3x -4=06.若是m ，n 方程x 2+2002x －1=0的两个实数根，则m 2n+mn 2－mn 的值为 7.已知1x 、2x 是方程0132=+-x x 的两根，则11124221++x x 的值为 。

8.关于x 的方程x 2+px +1=0的一个实数根的倒数是它的本身，那么p 的值为__________ 9.已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是_______10.已知关于x 的方程03)1(222=-++-m x m x （1）当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设1x 、2x 是方程的两根，且012)()(21221=-+-+x x x x ，求m 的值。

11.已知21,x x 是方程0)12(22=+-+a x a x 的两个实数根，且())2(221++x x =11，求a 的值（-1）12.已知关于x 的方程0)2(222=+--m x m x ，问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

13.已知关于x 的一元二次方程01222=+--m mx x 的两个根的平方和是429，求m 的值14.已知关于x 的方程01322=+-+m x x 的两根的倒数和为3，求m 的值因式分解法解一元二次方程一、知识点因式分解法:通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，像这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： （1）化方程为一般形式； （2）将方程左边因式分解；（3）根据“两个因式的积等于零，至少有一个因式为零”，转化为两个一元一次方程；（4）分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根。

注意：1、当一元二次方程不能变形为a x =2（a ≥0）的形式时，我们可以考虑用因式分解法求解，但首先要将方程先化成一般形式；2、因式分解法前提：方程()002≠=++a c bx ax 中，左边的多项式c bx ax ++2可以因式分解；3、因式分解方法有：提公因式法，运用公式法，十字相乘法，其中十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++例题讲解：一、因式分解的回忆1、x 2-5x 因式分解结果为_______；2x （x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______． 2、将下列各式因式分解：（1）3x 2+2x= （2）16x 2-25= （3）x 2-10x+25=二、因式分解解一元二次方程 基础例题例1、判断：（1）若ab=0, 则a=0或b=0 ( )(2) 若ab=1，则a=1或b=1 ( ) （3）若（x-5）（x+2）=0,则x-5=0或x+2=0 ( ) (4) 若（x-5）（x+2）=1,则x-5=1或x+2=1 ( )提公因式法 例2：解下列方程：（1）3x 2+2x=0 （2）x 2=3x十字相乘法例3、填写解方程2-2-3=0x x 的过程 解： x -3x 1-3x+x=-2x所以2-2-3=x x（x- ）（x+ ）即（x- ）（x+ ）=0即x- =0或x+ =0∴x1=__________,x2=__________例4、用十字相乘法解方程6x2－x-1=0解：2x -13x 12x- x=-x所以6x2－x-1=（2x ）（）即（2x ）（）=0即2x =0或 =0∴x1=__________,x2=__________例5、解下列方程（1）x2=4x （2）x2－25=0（3）x2－4x+4=0 （4）x2－2x+1=4 （5）(x+1)2=(2x－1)2（6）3x2+4x－7=0 （7）(x+3)(x－1)=5 （8）(3－x)2+x2=9（9）2（2x－3）2－3（2x－3）=0 （10）067-2=+xx（11）5x2-2x-14=x2-2x+34例6、已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx yx +-的值． 已知a 2－5ab +6b 2=0，则a b b a+等于多少？课后作业1. 如果 022=++m x x 有两个同号的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 1<mB. m <0≤1C. 0≤1<mD. 0>m2. 用配方法解一元二次方程0142=--x x ，配方后得到的方程是（ ）A. 1)2(2=-xB. 4)2(2=-xC. 5)2(2=-xD. 3)2(2=-x3. 若方程0482=-+x x 的两个根分别为1x 、2x ，则2111x x +的值为（ ） A. 2 B. 2-C. 1D. 1-4. 以1、3为根的一元二次方程是（ ）A. 0342=-+x xB. 0342=+-x xC. 0342=++x xD.0342=++-x x5. 两个不相等的实数根m 、n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为（ ）A. 6B. 6-C. 4D. 4-6. 已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且3121=+x x ，则21·x x =______________.7. 若m 是实数，则关于x 的方程023222=+++-m m mx x 的根的情况是____.8. 若t 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac 4b 2-=△和完全平方式2)2(b at M +=的关系式（）A △=MB △＞MC △＜MD 大小关系不能确定9.若一元二次方程06)4(22=+--x kx x 无实数根，求k 的最小整数值。