锅内液体向空气传递的热量： ������������������������ 2 = ( 火焰向锅内液体传递的热量： ������������������ = 1 (������ − ������) ������3 0 1 1 + )(������ − ������������ ) ������1 ������2
1 ������������1 1 ℎ������ 1 1 1 1 1 1 − = [ ������0 − ( + ������������1 ������������ )( ln F − ln(������ℎ)) − (������������1 ������������ + )������������ ] ������ ������������ ������ ℎ������ ������ ������3 ������ ������ ������ ������
4. 模型的建立与求解
4.1. 基本模型
4.1.1 质量守恒模型 ������ ������(������������) = ������������������ ������������
������
hρ =
0
������������1 ������������ A
由假设，ρ = ������������ ������������ ，将其代入上式： ∴T= 1 ln( ������
4.1.3 热流方程模型 ������ = 1 (������ − ������������������������ 1 −������������������������ 2 ) ������ ������������
将以上各式带入到热流方程里可得： ������ = 1 1 1 1 [ (������0 − ������) − ������������1 ������������ (������ − ������������ ) − ( + )(������ − ������������ )] ������ ������3 ������1 ������2 1 又 ∵ ������ = ������ 令 ∴
5.2.
模型的改进
本模型的复杂的原因之一在于一个方程内同时出现温度和温度导数， 而温度 仅仅是一个中间变量， 并非我们想求的量， 所以若是这两个量在因素影响不大的 情况下有某种近似的线性关系的话，将会对最后表达式的化简提供很大的帮助。 这可以先假设有这样的关系，然后根据实验求证。
3.2.
符号规定
ℎ0 ：初始的水位高度； h：任意时刻的水位高度； ������0 ：火焰恒定温度； T :液体温度； ������������ ：环境温度； ������������ ：冷水温度； K：龙头的开度； ������1 ：锅盖的热阻； ������2 ：锅壁的热阻；
������3 ：锅底的热阻； A：锅底的面积； ������1 ：进水龙头的截面积； C：锅内液体的热容量； ������������ ：冷水的热容量； ρ：锅内液体的密度； a：与密度表达式相关的系数； b：与密度表达式相关的系数。
1. 问题的重述
生活中存在这样的现象，在煮饺子的时候，水沸腾后若不加冷水的话，水就 会从锅内溢出，但加入冷水后，溢锅现象又消失，这可以联系传热学的知识，建 立相关模型。
2. 问题的分析
出现溢锅现象的原因主要在于液体密度的变化。 我们已在热力学中学习到密 度是一个随温度和压强变化的量。实际上，加热水的过程是一个不均匀的过程， 在锅底的温度高，故它先受热，然后密度减少，上面密度大的部分就会沉下来继 续加热，也有对流换热的现象，这时就会有一个温度的梯度。在本模型中，为了 简化处理，假设加热的过程是一个均匀的温升过程。当达到某一温度时，液态向 气体过度， 形成一些蒸汽泡， 由底部向上运动， 但由于面粉的粘性使得气泡堆积， 故使整体的体积变大，但里面成分过于复杂，整体密度也是极度不均的，为了简 化模型，假设密度在温升的过程中是一个均匀的量。当加入冷水后，使得气泡和 液体的温度降低，这时候，气态又会向液态进行转化，且液态物质的密度也会相 应增大，故体积减小了。本次模型中假设了一个圆柱形的不锈钢锅，在上面接一 个水龙头注水，同时有一个恒温热源为其加热，然后进行模型求解。
即为水位高度与开度的微分方程式。
5. 模型的改进与评价
5.1. 模型的评价
பைடு நூலகம்
正如结果显示，本模型的微分方程关系式较为复杂，很难做线性求解，这也 是由过程的复杂性决定的。本模型求解的关键就在于K随时间的函数变化规律， 这个直接决定了求解h的难度，因为在关系式中F为一个与K有关的积分函数，故 若想简单了解加入冷水后h随时间的变化关系，可假设一个简单的K值，例如:假 设其为常量之类，此时方程为一个一阶常微分方程，求解很方便，这样可快速模 拟出曲线，看出变化情况。
������ 0
������������1 1 ������������) − ln(������ℎ) A ������
������
令F t =
0
������������1 ������������ A
4.1.2 热量传递模型 加入水后导致锅内液体向冷水传递的热量为： ������������������������ 1 = ������������1 ������������ (������ − ������������ )
������������1 ������ ������������ 1 0 ������
1 1 1 1 1 1 1 + + = + = ������1 ������2 ������3 ������ ������1 ������2 ������
A
������������
−
1 ℎ������ 1 ������������1 1 ℎ������ = − ������ ℎ������ ������ ������������ ������ ℎ������
3. 模型假设与符号说明
3.1. 模型的假设
1， 整个过程中液体的密度均匀，温度也均匀； 2， 加入冷水的过程，简化为该部分液体带走的热量； 3， 忽略相变过程等复杂过程对密度和温度的影响； 4， 在本过程中，能量只以热能的形式进行传递； 5， 假设锅是一个理想的圆柱体，热源为恒温热源； 6， 液体的密度与温度的关系假设为：ρ = ������������ ������������ ；这样假设的理由为：①只 要合适取值，该关系能线性化，具有作为拟合函数的多个优点；②在水 中产生的气泡研究中，已经证实气泡数量满足指数的关系；③自然界中 很多现象均与自然数e有关，故本模型采用指数形式建模。