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应用运筹学作业6.某工厂生产A,B,C,D四种产品,加工这些产品一般需要经刨、磨、钻、镗四道工序,每种产品在各工序加工时所需设备台时如表1-18所示,设每月工作25天,每天工作8小时,且该厂有刨床、磨床、钻床、镗床各一台。
问:如何安排生产,才能使月利润最大?又如A,B,C,D四种产品,每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件,则该问题的线性规划问题又该如何?1234四种产品的数量,则得目标函数:Max=(200−150)x1+(130−100)x2+(150−120)x3+(230−200)x4 =50x1+30x2+30x3+30x4生产四种产品所用时间:(0.3+0.9+0.7+0.4)x1+(0.5+0.5+0.5+0.5)x2+(0.2+0.7+0.4+0.8)x3+(0.4+0.8+0.6+0.7)x4≤25×8即:2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200又产品数量不可能为负,所以:x i≥0(i=1,2,3,4)综上,该问题的线性规划模型如下:Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 x i≥0(i=1,2,3,4)下求解目标函数的最优解:max=50*x1+30*x2+30*x3+30*x4;2.3*x1+2.0*x2+2.1*x3+2.5*x4<200;Global optimal solution found.Objective value: 4347.826Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost X1 86.95652 0.000000 X2 0.000000 13.47826 X3 0.000000 15.65217X4 0.000000 24.34783Row Slack or Surplus Dual Price1 4347.826 1.0000002 0.000000 21.73913故此线性规划的最优解为x1=86.95652,x2,x3,x4=0,最优值为4347.826,即每月生产A产品87件即可获利最大。
若A,B,C,D四种产品,每月最大的销售量分别为300件、350件、200件和400件,则其线性规划模型如下:Max Z=50x1+30x2+30x3+30x4S.T.{2.3x1+2.0x2+2.1x3+2.5x4≤200 x1≤300 x2≤350 x3≤200 x4≤400 x i≥0(i=1,2,3,4)7.某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品,每种产品都要经过A,B两道工序加工,A工序加工合格率为95%,B工序加工合格率为98%,原料价格为每千克8元,原料占用资金不得超过30000元,已知生产单位产品所需工时,原料消耗,产品单价,A,B两道工序有效工时如表1-19所示,要求安排最优的生产计划,使该厂利润最大?解:该问题的目标是使得利润最大,设产品Ⅰ和产品Ⅱ的生产数量分别为x1、x2,则得目标函数:Max=0.95×0.98×20x1+0.95×0.98×28x2−8x1−16x2 =10.62x1+10.068x2由A、B工序有效工时得:0.4x1+0.6x2≤20000.3x1+0.4x2≤1500而原料占用资金不得超过30000元,即8x1+16x2≤30000故该问题的线性规划模型为:Max Z=10.62x1+10.068x2S.T.{0.4x1+0.6x2≤2000 0.3x1+0.4x2≤1500 8x1+16x2≤30000 x1 ,x2≥0下求解目标函数的最优解:max =10.62*x1+10.068*x2; 0.4*x1+0.6*x2<2000; 0.3*x1+0.4*X2<1500; 8*x1+16*x2<30000;Global optimal solution found.Objective value: 39825.00 Total solver iterations: 1Variable Value Reduced Cost X1 3750.000 0.000000 X2 0.000000 11.17200Row Slack or Surplus Dual Price 1 39825.00 1.000000 2 500.0000 0.000000 3 375.0000 0.000000 4 0.000000 1.327500即生产3750件产品Ⅰ即可获得最大利润39825元。
8.某厂用6米的角钢切割钢窗用料,每付钢窗含长2.5米的料2根、1.6米的料2根、1米的料4根,若需200付钢窗用料,问最少切割6米的角钢多少根?设第j 种方案下料的原材料根数为x j ,则其线性规划模型如下: Min Z =x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8S.T.{ x 5+x 6+x 7+2x 8≥400 x 2+2x 3+3x 4+x 6+2x 7≥400 6x 1+4x 2+2x 3+x 4+3x 5+x 6+x 8≥800x j ≥0,j =1,…,8下求解目标函数的最优解:min =x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8; x5+x6+x7+2*x8>400;x2+2*x3+3*x4+x6+2*x7>400;6*x1+4*x2+2*x3+x4+3*x5+x6+x8>800;Global optimal solution found.Objective value: 411.1111Total solver iterations: 5Variable Value Reduced CostX1 77.77778 0.000000X2 0.000000 0.5555556E-01X3 0.000000 0.1111111X4 133.3333 0.000000X5 0.000000 0.8333333E-01X6 0.000000 0.1388889X7 0.000000 0.2777778E-01X8 200.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 411.1111 -1.0000002 0.000000 -0.41666673 0.000000 -0.27777784 0.000000 -0.1666667故最少切割6米的角钢412根,其中按方案1切割78根,按方案4切割134根,按方案8切割200根。
9.某贸易公司从事某种粮食批发业务,公司现有5000吨的仓库,1月1日公司拥有库存1000吨,并有资金5000000元,估计第一季度该种粮食的价格如表1-20所示。
表1-20发货”,公司希望本季度末库存为1500吨,问应采取什么样的买进与卖出策略才能使三个月的总利润最大?解:设三个月月末进货分别为x1,x2,x3,出货分别为y1,y2,y3,分析可知x2=0则该问题的目标函数为:Max=24700−100y1+2470y2+2410y3−2300x3−2250x1其线性规划模型如下:Max=24700−100y1+2470y2+2410y3−2300x3−2250x1S.T.{2250x1≤5000000+2350y1 y1≤1000 y2≤1000+x1−y1y3≤1000+x1−y1−y2y3=x1+x3−y1−y2−1000下求解目标函数的最优解:max=2470000-100*y1+2470*y2+2410*y3-2300*x3-2250*x1;2250*x1<5000000+2350*y1;y1<1000;1000+x1-y1<5000;y2<1000+x1-y1;y3<1000+x1-y1-y2;y3=x1+x3-y1-y2-1000;Global optimal solution found.Objective value: 828888.9Total solver iterations: 1Variable Value Reduced CostY1 0.000000 2340.222Y2 3222.222 0.000000Y3 0.000000 60.00000X3 2000.000 0.000000X1 2222.222 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 828888.9 1.0000002 0.000000 0.9777778E-013 1000.000 0.0000004 1777.778 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 170.00007 0.000000 2300.000故1月份买进2222.2吨,3月份买进2000吨,2月份卖出3222.2吨即可获得最大利润828888.9元。
11.某饲料厂用A,B,C三种天然饲料来混合配置甲、乙两种混合饲料,要求在混合饲料甲中含蛋白质不少于0.5%,矿物质不少于0.1%,维生素不少于0.08%;乙中含蛋白质不少于0.4%,矿物质不少于0.11%,维生素不少于0.07%。
混合饲料甲的售价为1元/千克,乙的售价为0.9元/千克,加工费甲为0.2元/千克,乙为0.15元/千克。
已知天然饲料A,B,C中蛋白质、矿物质、维生素的含量,A,B,C的单价及每周的限用量如表1-22所示。
问该厂应如何安排生产,才能使利润收入为最大?表1-22123C天然饲料各y1,y2,y3,则得目标函数:Max=0.3x1+0.4x2+0.35x3+0.25y1+0.35y2+0.3y3对甲饲料:蛋白质含量:0.8x1+0.3x2+0.4x3≥0.5(x1+x2+x3)矿物质含量:0.05x1+0.13x2+0.09x3≥0.1(x1+x2+x3)维生素含量:0.19x1+0.05x2+0.09x3≥0.08(x1+x2+x3)同理,对乙饲料也有上述关系式。
A原料的周限用量为:x1+y1≤5000,对B、C原料同理。
综上,该问题的线性规划模型如下:Max Z=0.3x1+0.4x2+0.35x3+0.25y1+0.35y2+0.3y3S.T.{0.8x1+0.3x2+0.4x3≥0.5(x1+x2+x3) 0.05x1+0.13x2+0.09x3≥0.1(x1+x2+x3) 0.19x1+0.05x2+0.09x3≥0.08(x1+x2+x3) 0.8y1+0.3y2+0.4y3≥0.4(y1+y2+y3) 0.05y1+0.13y2+0.09y3≥0.11(y1+y2+y3) 0.19y1+0.05y2+0.09y3≥0.07(y1+y2+y3) x1+y1≤5000 x2+y2≤1000 x3+y3≤8000 x i≥0,y i≥0(i=1,2,3)下求解目标函数的最优解:max=0.3*x1+0.4*x2+0.35*x3+0.25*y1+0.35*y2+0.3*y3;0.8*x1+0.3*x2+0.4*x3>0.5*(x1+x2+x3);0.8*y1+0.3*y2+0.4*y3>0.4*(y1+y2+y3);0.05*x1+0.13*x2+0.09*x3>0.1*(x1+x2+x3);0.05*y1+0.13*y2+0.09*y3>0.11*(y1+y2+y3);0.19*x1+0.05*x2+0.09*x3>0.08*(x1+x2+x3);0.19*y1+0.05*y2+0.09*y3>0.07*(y1+y2+y3);x1+y1<5000;x2+y2<1000;x3+y3<8000;Global optimal solution found.Objective value: 487.5000Total solver iterations: 10Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 X3 0.000000 0.4500000 Y1 250.0000 0.000000 Y2 1000.000 0.000000 Y3 250.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 487.5000 1.0000002 0.000000 -4.6250003 0.000000 -1.6250004 0.000000 -33.750005 0.000000 -15.000006 0.000000 0.0000007 15.00000 0.0000008 4750.000 0.0000009 0.000000 0.487500010 7750.000 0.000000 故该厂每周获得最大利润为487.5元。