累积损失的分布模型有两种不同的表现形式：

个体风险模型： S X1 X 2 X n

集体风险模型： S X1 X 2 X N
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在集体风险模型中，累积损失S的均值和方差分别为：
E (S ) E ( N ) E ( X ) Var ( S ) E ( N )Var ( X ) Var ( N )[ E ( X )]2
指数分布具有下述性质： 1. 如果在单位时间内损失次数服从参数为q的泊松分布， 则相邻损失之间的时间间隔服从参数为q的指数分布。 2. 指数分布具有无记忆性。
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二、对数正态分布
F ( x) ( z )
f ( x) 1 x 2 exp( z 2 / 2) ( z ) /( x)
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标准差是其方差的平方根，即 X Var( X ) 变异系数是标准差与数学期望的比率，即
Var ( X ) cv E( X ) n个独立同分布的随机变量之和的变异数是单个随机 变量的变异系数的1/n，即
Var x1 xn E x1 xn n X cv nE x n
2. 帕累托分布乘以正常数r以后，仍然是帕累托分布，参
数变为（，r）。 3. 如果均值 ＝E(X)保持不变，当 时，帕累托分布 收敛到参数为1/ 的指数分布。
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五、威布尔分布
F ( x) 1 exp[ x ] f ( x) x 1 exp( x )
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2、方差、标准差和变异系数
Var( X ) E[ X E( X )]2

两个随机变量X和Y的方差具有下述关系： （1） Var ( X ) k 2Var( X ) （2）若X与Y相互独立，则
Var ( X＋Y ) Var ( X )＋Var (Y )
2 2 （3） Var( X ) E( X ) [ E( X )]
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三、二项分布
m k pk q (1 q)mk ，k＝0，1，2，…，m，其中m为整 k
数，0 < q <1
E ( N ) mq Var ( N ) mq(1 q)
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二项分布具有下述性质：
1. 二项分布的方差小于其均值。 2. 假设每个风险发生损失的概率均为q，则二项分布可以 描述m个独立同分布的风险所组成的风险集合的损失次 数。
E ( X ) xf ( x)dx
－
＋

密度函数f (x)与分布函数F(x) 具有下述关系：
F ( x) f ( x)

x

两个随机变量X和Y的数学期望具有下述关系： （1）E (kX) = k E(X)，其中k为常数 （2） E( X＋Y ) E( X )＋E(Y ) （3）若X与Y相互独立，则 E ( XY ) E ( X ) E(Y )

对累积损失的一种最简单的近似计算是正态近似：
S E (S ) Pr x ( x) Var ( S )
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如果累积损失S服从复合泊松分布，泊松分布的参数为， 则
S m Pr x ( x), 2 当 时
其中 z
ln( x)

，－ < < + ， > 0，x > 0
E( X ) exp( 0.5 2 )
Var ( X ) exp(2 2 2 ) exp(2 2 )
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对数正态分布具有下述性质： 1. 正态分布经指数变换后即为对数正态分布；对数正态分 布经对数变换后即为正态分布。 2. 设r，t为正实数，X是参数为（，）的对数正态分布， 则Y ＝ rX t 仍是对数正态分布，参数为（t + ln(r)， t2）。 3. 对数正态分布总是右偏的。 4. 对数正态分布的均值和方差是其参数（，）的增函 数。 5. 对给定的参数，当 趋于零时，对数正态分布的均值 趋于exp()，方差趋于零。
PX1 Xn ( z) PX1 ( z) PX n ( z)
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随机变量X的矩母函数MX(t)是关于实数t的函数，即
M X (t ) E(etX )

如果随机变量X的矩母函数在原点的某个邻域有定义，则 其矩母函数具有下述性质： （1）随机变量X的分布函数由其矩母函数惟一确定。 （2）如果X的k阶原点矩存在，则矩母函数M(t)可微分s（s k）次，且其k阶原点矩可以表示为 k E( X k ) M ( k ) (0)
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六、通货膨胀对损失金额模型的影响

若令 Y (1 r ) X ，则X 与Y 的分布函数之间存在如下 关系：
y FY ( y ) = FX [ ] 1+ r

如果X为连续型随机变量，则X与Y的密度函数之间有如 下关系：
1 y fY ( y ) = fX ( ) 1+ r 1+ r
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第五节 累积损失模型
四、条件期望和条件方差 对于二维随机变量（X，Y），当Y给定时计算X的数学期 望即得X的条件期望 E ( X | Y ) 。 当Y给定时计算X的方差即得X的条件方差为

Var( X | Y ) E( X 2 | Y ) [ E( X | Y )]2 如果允许Y可以随机取值而不是给定取值，则E (X|Y)和 Var（X|Y）都是随机变量。 （1）E (X ) = E[E (X |Y )] （2）Var(X) = E[Var(X|Y )]+Var[E(X|Y )]
第十章
损失模型
1
第一节 风险与保险

保险公司在其经营过程中，必须认识到风险与保险的下 述基本关系： （1）保险是将风险从被保险人向保险人的转移； （2）保险人也需要对其所承保的超额风险寻求保险 保障； （3）风险集合包含的个体风险越多，其相对风险越 小； （4）不同的被保险人具有不同的风险水平； （5）在很多情况下，少数巨灾风险所造成的损失将 占到总损失的很大比重。
3. 如果用二项分布描述损失次数，则意味着损失次数存在
一个最大值。 4. 二项分布的众数＝int[q(m+1)]，int表示取整数。如果 q(m+1)为整数，则其众数也等于q(m+1)－1。
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四、几何分布
k pk , k 1 (1 )
E( N )
k 0,1, 2
Var ( N ) (1 )
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三、伽玛分布
x 1 x f ( x) e ( )
E( X ) /
Var ( X ) / 2
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伽玛分布具有下述性质： 1. 当固定尺度参数q 时，改变形状参数 的取值会改变伽
玛密度函数的形状。
2. 当 趋于无穷大时，伽玛分布近似于正态分布。 3. 当 = 1时，伽玛分布就是参数为q的指数分布。 4. 当尺度参数q 相同时，伽玛分布具有可加性。 5. 伽玛分布乘以正常数r以后，仍然是伽玛分布，参数变
3
二、随机变量的数字特征 1、数学期望 数学期望描述了随机变量的平均取值，代表着其取值 的平均水平。 随机变量X的数学期望通常用E(X)表示。如果X为离散 型随机变量，其取值为xi的概率为pi（i =1, 2, … ）， 则其数学期望为
E ( X ) xi p i
i 1

4

如果X为连续型随机变量，则其数学期望为
几何分布具有下述性质： 1. 几何分布是负二项分布当r = 1时的特例。 2. 几何分布具有指数形式的衰减概率函数，因此具有 无记忆性。 3. 几何分布的众数恒为零。
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第四节 损失金额模型
一、指数分布
F ( x) 1 exp( x) E ( X ) 1/
Var ( X ) 1/ 2
14
二、负二项分布
(k r ) 1 pk , k 0,1, 2,... (r )(k 1) 1 1
r k
E( N ) r
Var ( N ) r (1 )
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负二项分布具有下述性质： 1. 方差大于均值。 2. 负二项分布是一种混合泊松分布。 3. 负二项分布 int r 1 的众数，int表示取整数
2
第二节 损失模型的基本概念
一、随机变量 随机变量是指其取值依赖于随机现象的观察结果的变量。 在非寿险精算中，最常见的随机变量就是损失金额（用 X表示）和损失次数（用N表示）。 离散型随机变量：只能取有限个或可列个值的随机 变量，如保单的索赔次数N就是一个离散型随机变 量，因为它只能取有限个值。 连续型随机变量：其取值布满一个区间的随机变量， 如损失额X的取值范围是区间（0，＋）。
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对于集体风险模型，当损失次数服从泊松分布时，可以用 Panjer迭代计算累积损失的分布：
随机变量X的概率母函数被定义为：PX (z) = E (zX) （1）随机变量X的分布函数由其概率母函数惟一确定。 （2）随机变量的概率可以通过概率母函数的各阶导数来 确定，即 (k )
pk P (0) , k! k 1, 2,
（3）n个相互独立的随机变量之和的概率母函数等于它们 各自的概率母函数的乘积，即
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第三节 损失次数模型
一、泊松分布
e k pk , k 0,1, 2,... k!
E( N ) Var ( N： 1. 可加性。 2. 可分解性。 3. 泊松分布的众数＝int（），int表示取整数。如果参数 为整数，则其众数也等于-1，此时泊松分布具有双众 数。 4. 当参数很小时，泊松分布可以近似二项分布。 5. 如果保险事故发生的时间间隔服从指数分布，则在一个 固定的时间区间内发生的保险事故次数服从泊松分布。 6. 当参数较大时，泊松分布可以用正态分布近似。