第四章 恒定电流的磁场 作业题解答
4-1．求如图所示各种形状的线电流 I 在 P 点产生的磁通密度矢量（假设介质为真空） 。 解 （1）首先计算半径为 a 的通电圆形电流回路在轴线上任一点的磁通密度矢量。选 取柱坐标系，电流回路放置于 XY 平面，轴线与 Z 轴重合，如图 4—1（a）所示。根据比奥 —莎伐尔定律，线电流分布圆环轴线上任一点的磁通密度矢量为
- y¢
题 4—1（c）图
有
Idl′ = Idx′e x (
)
dl′ = Idx′e x (
)
R = r − r ′ = x′e x + ae y (
R = r − r′ = x′e x − ae y (
)
)
Idl′ × R = Idx′e x × ( x′e x − ae y ) = − Iadx′ez ( Idl′ × R = Idx′e x × ( x′e x + ae y ) = Iadx′e z ( R 3 = ( x′2 + a 2 )
0 dl′ × R µ0 Ia dx′e z = 3 ∫ ∫ 4π −∞ ( x′2 + a 2 )3 / 2 (l ) R
µI B = 0 4π
可见上、下两半无限长电流线在 P 点产生的磁通密度矢量大小相等、方向相同。由积分公式
∫ ⎡u
⎣
可得
du
2
+a ⎤ ⎦
2 3/ 2
=
u a2 u 2 + a2
Z
P (0 , j ,z )
a
a
r
O
j ¢
I
P
R
Y
I
a
a
r¢
Idl¢
S (a,j ¢,0)
X
题 4-1 图（a）
B=
由图可知
µ0 4π
Idl′ × a R µ0 I = R2 4π (l )
∫
dl′ × R 3 (l ) R
∫
Idl′ = Iad ϕ ′eϕ′
R = r − r′ = ze z − ae ρ ′
b
X
d
æ ö 3 b÷ ÷ Bç ç çd + 2 b,- 2÷ ÷ ç è ø
题 4-2 图
ψ = ∫∫ B ⋅ dS
(S )
建立如图所示的直角坐标系，利用点斜式得到 AB 和 AC 边的直线方程分别为
y=
1 (x - d ) 3 1 (x - d ) 3
y= 又
dS = dxdyej
B=
µ0 I µI eϕ = 0 eϕ 2πρ 2π x
Y
C (0,b, 0 )
(x ¢,b, 0)
(a, y ¢, 0)
ey Id l ¢= Idy ¢
Id l ¢ = I (- d x ¢ )(- e x )
A (a, 0, 0 )
X
B (a,b, 0)
题 4-8 图
磁位，然后进行矢量叠加。对于 OA 段，有
A OA
µI dx′e x = 0 ∫ 4π 0 ⎡( x − x′ ) 2 + y 2 + z 2 ⎤1/ 2 ⎣ ⎦
a
同理，有
A AB =
A BC
A CO
b dy′e y µ0 I 1/ 2 2 2 2 4π ∫ 0 ⎡( x − a ) + ( y − y ′ ) + z ⎤ ⎣ ⎦ 0 µI dx′e x = 0 ∫ 4π a ⎡( x − x′ ) 2 + ( y − b ) 2 + z 2 ⎤1/ 2 ⎣ ⎦ 0 dy′e y µI = 0 ∫ 4π b ⎡ x 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 ⎤1/ 2 ⎣ ⎦
(a
2
+z
2 3/ 2
)
=
z =0
µ0 I ez 4a
Y
Id l ¢= I (- dx ¢ )(- e x ¢)
y¢
所以，当 z=0 时，圆环中心处 P 点的磁通密度矢 量为
r¢
- x¢
B=
µ0 I ez 4a
a P
r= 0
X
r¢
e x¢ Id l ¢= Idx ¢
（3）对于如图 4—1（c）所示的电流回路， 也可分三个部分进行计算，左边两半无限长电流 线和右半圆环电流线。对于两半无限长电流线，
⎡b d ⎛ 3b ⎞ ⎤ ln ⎜ 1 + ⎢ − ⎟⎥ 2d ⎟ 3 ⎜ ⎢ ⎝ ⎠⎥ ⎣2 ⎦
4-6． （文献[11]、P122）已知某电流在空间产生的磁矢位是
A = x 2 ye x + xy 2e y − 4 xyze z
求磁通密度矢量 B。 解 根据磁通密度矢量与矢量磁位之间的关系
B = ∇×A
B=
µ0 Ia 2
2 (a + z
2 2 3/ 2
)
ez
z =0
=
µ0 I ez 2a
Y
（2）对于如图 4—1（b）所示的电流回路，可分 三个部分进行计算：左边半无限长电流线、半圆环电 流线和右半无限长电流线。对于两半无限长电流线， 有
a
X r ¢= x ¢ e x ¢ r ¢= - x¢ e x¢
∫
可知，两半无限长电流线在 P 点产生的磁通密度矢量 B 为零。 对于半圆环电流线，由（1）有
B=
µ0 I 4π
(l )
∫
azdϕ ′e ρ ′ + a 2 dϕ ′e z
(a
2
+ z2 )
3/ 2
=
µ0 I 4π
π
∫
0
azdϕ ′e+ z2 )
3/ 2
+
µ0 I 4π
π
∫
0
a 2 dϕ ′e z
对上式中被积函数两项进行有理化，有
2 2 2 ⎡ ⎡ ⎡( x − x′ )2 + ( y − b )2 + z 2 ⎤ + ⎡( x − x′ )2 + y2 + z 2 ⎤ − ⎡( x − x′ ) + y 2 + z 2 ⎤ ( x − x′ ) + ( y − b ) + z 2 ⎤ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ µ I a⎢ ⎣ A = 0 ∫⎢ 4π 0 ⎢ ⎡ x − x′ 2 + y 2 + z 2 ⎤1/ 2 ⎡ x − x′ 2 + y − b 2 + z 2 ⎤1/ 2 ⎡ x − x′ 2 + y − b 2 + z 2 ⎤1/ 2 + ⎡ x − x′ 2 + y 2 + z 2 ⎤1/ 2 ( ) ) ( ) ) ( ) ) ⎦ ⎣( ⎦ ⎣( ⎦ ⎣( ⎦ ⎢ ⎣ ⎣ 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2 2 2 2 2 2 ⎡ ⎡ 2 ⎡ x2 + ( y − y′ ) + z 2 ⎤ + ⎡( x − a) + ( y − y′ ) + z2 ⎤ x + ( y − y′ ) + z 2 ⎤ − ⎡( x − a ) + ( y − y′ ) + z 2 ⎤ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ µ0 I b ⎢ ⎣ + ⎢ 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2 2 4π ∫ 0 ⎢ ⎡ ( x − a ) + ( y − y′ ) + z 2 ⎤ ⎡ x2 + ( y − y′ )2 + z2 ⎤ ⎡ x2 + ( y − y′ )2 + z2 ⎤ + ⎡( x − a)2 + ( y − y′ )2 + z2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎣
)
µI az = 0 2 4π ( a + z 2 )3/ 2
2π
∫ ( cosϕ ′e
0
x
+ sinϕ ′e y )dϕ ′ = 0
B=
µ0 I 4π
2π
∫
0
a 2 dϕ ′e z
(a
2
+z
2 3/ 2
)
=
µ0 Ia 2
2(a + z
2 2 3/ 2
)
ez
当 z=0 时，圆环电流中心处 P 点的磁通密度矢量为
+C
µ0 Ia −∞ µI dx′e z B =B = = 0 ez 3 / 2 ∫ 4π 0 ( x′2 + a 2 ) 4π a
半圆环电流的磁场与（2）相同，即
B弧 =
m0 I ez 4a
则整个电流回路在 P 点产生的磁通密度矢量为
B=B +B +B =
µ0 I µI µI µ I ⎡2 ⎤ e z + 0 e z + 0 e z = 0 ⎢ + 1⎥ e z 4π a 4a 4π a 4a ⎣ π ⎦
因此，P 点的矢量磁位为
A = A OA + A AB + A BC + A CO dy′e y µIa dx′e x µ0 I b = 0 ∫ + 1 / 2 ∫ 4π 0 ⎡( x − x′ )2 + y 2 + z 2 ⎤ 4π 0 ⎡ ( x − a )2 + ( y − y ′ )2 + z 2 ⎤1/ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 0 dy ′e y µI dx′e x µ0 I + 0 ∫ + 1 / 2 ∫ 4π a ⎡( x − x′ )2 + ( y − b )2 + z 2 ⎤ 4π b ⎡ x 2 + ( y − y′ ) 2 + z 2 ⎤1/ 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ µ0 I a ⎢ 1 1 ⎥ dx′e = − x 1 / 2 1 / 2 ∫ ⎢ ⎥ 4π 0 ⎡( x − x′ ) 2 + y 2 + z 2 ⎤ ⎡( x − x′ ) 2 + ( y − b ) 2 + z 2 ⎤ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦ ⎣⎣ ⎡ ⎤ µ0 I b ⎢ 1 1 ⎥ dy′e + − y 1/ 2 1/ 2 ⎥ ∫ ⎢ 2 2 2 2 2⎤ 4π 0 ⎡( x − a ) + ( y − y ′ ) + z 2 ⎤ ⎡ ′ x + y − y + z ( ) ⎢ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥ ⎣⎣ ⎦