即：两个振动任意时刻的相位差恒等于其初相 差。它们的步调是否相同，决定于相位差。
例如： 当 = 0
当 =
当 =
x
A2 A1
0
x0
x
A2 A1 x 0
x
A2 A1
x0
x1
x2
t
x2 x1 t
x1
x2
t
3.（t )相位可比较不同物理量变化的步调。
例如：简谐振动的位移、速度、加速度
x Acos(t )
解：运动方程：x Acos(t )
初始位移： x0 Acos 即：A x0 0.1 Acos
解之得：A = 0.1
0.1 0.1cos
0
运动方程： x Acos(t ) 0.1cos(2t)
例2： 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅
为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示， 如果在t=0时，质点的状态分别是（1）x0=－A； （2）过平衡位置向正向运动；（3）过x＝A/2处
第四章 振动
机械振动 －－ 物体在一定位置附近作来回重 复的周期性运动。
简谐振动 －－ 振动中最基本、最简单的运动。 ❖ 一切复杂的振动都可以看成是若干个谐振
动的合成。
波 －－ 是振动在空间的转播。
第一节 简谐振动(重点)
一. 简谐振动的运动方程
1. 特征： F = - k x
物体所受力大小与位移成正比，方向与位移 相反。
2. 运动方程 弹性力：F = - k x = ma
a k x k 0, m 0 k 0
m
m
令： 2＝ k 0
m
又：a
d2x dt 2
则：a 2x
d 2x dt 2
2x
0
－－谐振动的微分方程
解之： x Acos(t )－－谐振动的运动方程
A、 －－积分常数
3. 谐振动的速度及加速度方程：
v Asin( t ) Acos(t )
2
x 、av、 a2 Acos(t ) 2 Acos(t )
a
a 超前 v 相位 /2，
v
0
T/2
x
T
v 超前 x 相位 /2。 t
四. A 和 的确定 ——利用解析法
运动、速度方程： x Acos(t )
v A sin( t )
运动方程: x Acos(t )
速度方程： v dx Asin( t )
加速度方程： dt
a
d2x dt 2
dv dt
2 Acos(t
)
❖ 物体作谐振动时，它的位移、速度和加速 度都是时间的正、余弦函数，即周期函数。
❖ 简谐振动的位移、速度和加速度曲线。
x 、v、a
a
v
T/2
x
0
T
t
二. 谐振动的矢量图法
x0 Acos 0
又：v0 A sin 0
2
＝
2
振动方程为：x Acos(2 t )
T2
（3）
x0
A
A / 2, /2 A
v0
cos
0
有：
又：v0 A sin 振动方程为： x
A
3
0
＝
cos( 2
2.周期、频率：
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
Acos[(t T ) ]
周期（s） T
2π
物体作一次完全振动 所需的时间。
频率（Hz）
1 T
2π
单位时间完成全振动 的次数。
圆频率
2π
2π T
在2π秒时间内完成全 振动的次数。
注意
T、v、w 是反应物体振动快慢的物理量，
由振动系统自身的性质决定，故又叫固 有周期、固有频率、固有角频率。 质量为m、劲度系数为 k 的弹簧振子的周 期、频率、角频率：
二. 受迫振动与共振 共振演示实验 单摆 1 作垂直于
纸面的简谐运动时,单 摆 5将作相同周期的 简谐运动，其它单摆 基本不动.
共振演示实验
6 3
1
5
2
4
共振现象在实际中的应用：乐器、收音机……
18世纪中叶，一队士兵在指挥官的口令下，迈着威武 雄壮、整齐划一的步伐，通过法国昂热市一座大桥， 快到中间时，桥梁突然发生强烈的颤动并且最终断裂 坍塌，造成许多官兵和市民落入水中丧生。
向负向运动；（4）过x＝-A/ 2 处向正方向运动。
试求出相应的初相值，并写出振动方程。
解：振动方程
x Acos(t
)
A cos( 2
Байду номын сангаас
t
)
初始条件： x0 Acos
T
v0 A sin
（1） x0=－A，有： A Acos
cos 1
振动方程为：
x
A cos( 2
t
)
T
（2）
x0 0, v0 0 有：
的物理量。
例如：
（相位）
t=0
t 0
t
2
t
t 3
2
（ 振动状态）
0
F
vN
N F
mg
mg
N
v
mg
N
X
mg
X
X
X
2.( t ) 相位可以比较两个简谐振动的步调关系。
设两个同频率的谐振动方程：
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2) 其相位差： (t 2) (t 1) 2 1
当 t = 0时，有 x0 Acos
v0 A sin
－－－ 初始条件
解之得:
初始条件
A x02 v02 2
tg v0
x0
A、
x Acos(t )
第二节. 阻尼振动 受迫振动
一. 阻尼振动
常数 — —简谐振动
E Ek Ep
临界阻尼振动 减小 阻尼振动 强阻尼振动
弱阻尼振动
共振现象的危害
1940 年11月7日美国全长860米的塔柯姆悬索桥因大 风引起的共振而坍塌。当时的风速还不到设计风速的
1/3，由于该桥的实际抗共振强度没有过关所致。
美国著名的科学家 ————富兰克林
给我一个共振器， 我可以让地球一裂 为二。
例题1： 已知一作谐振动的物体的角频率为 2rad.s-1，振幅为t = 0 时刻时的初始位移0.1m， 试求该谐振动的运动方程。
T 2 m , 1 k , 2 2 k
k
2 m
Tm
摆长为 l 的单摆的周期、角频率：
g , T 2 2 l
l
g
四.相位和初相位
谐振动运动方程： x Acos(t )
t ：相位. 决定物体的运动状态。
：初相位. 即t = 0 时刻的相位。
讨论
1. （ t ）相位是描述振动物体运动状态
A
：旋转矢量 ：转动角速度
A 旋转一周
所需时间：
T 2 1
角频 率
当 t = 0 ，A与x 轴的夹角：
当 t = t ， A与x 轴的夹角：t
OP x Acos(t ) －－谐振动运动方程
M(t)
A t M(t =0)
C
0 x P Bx
三. 振幅、周期、频率
1.振幅： A xmax