弹塑性力学习题解答塑性：弹性：2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。

证明： （1）将应力分量q y x -==σσ，0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y x xy yy x y yxxx f f τστσ （a ） 0)1())((2222=∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂）（y f x f y x y x y x μσσ （b ）显然（a ）、（b ）是满足的（2）对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ，0=xy τ代入平面问题的应力边界条件的表达式⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)()()()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ （c ） 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),cos(),cos(y n q y n y -=σ 所以q x -=σ，q y -=σ。

对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。

（3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。

该题为平面应力的情况，首先，将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程，得形变分量q E x )1(-=με，q Ey )1(-=με，0=xy γ （d ） 然后，将（d ）的变形分量代入几何方程，得q Ex u )1(-=∂∂μ，q E y v )1(-=∂∂μ，0=∂∂+∂∂y u x v （e ） 前而式的积分得到 )()1(1y f qx E u +-=μ，)()1(2x f qy Ev +-=μ （f ） 其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入（e ）的第三式得 dxx df dy y df )()(21=-等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。

因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有ω-=dy y df )(1，ω=dxx df )(2，积分以后得01)(u y y f +-=ω，02)(v x x f +=ω代入（f ）得位移分量⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=vx qy E v u y qx E u ωμωμ)1()1(0 其中ω,,00v u 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。

从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确的解答。

2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。

试根据材料力学公式，写出弯应力x σ和切应力xy τ的表达式，并取挤压应力0=y σ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。

解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为Fx x M -=)(，横截面对z 轴（中性轴)的惯性矩为123h I z =，根据材料力学公式，弯应力xy hFI y x M z x 312)(-==σ；该截面上的剪力为F x F s -=)(，剪应力22223()346()()24s xy F x y F h I y h h h τ=-=--；并取挤压应力0=y σ（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y x xy y y x yyxxx f f τστσ 也能满足相容方程0)1())((2222=∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂）（y f x f yx y x y x μσσ再考察边界条件：在2/h y ±=的主要边界上，应精确满足应力边界条件：0)(2/==h y y σ，0)(2/==h y yx τ； 0)(2/=-=h y y σ，0)(2/=-=h y yx τ。

能满足在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：/2/2/20/2/20/2()0()0()h x x h h x x h h xy x h dy ydy dy F σστ=-=-=-⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ 满足应力边界条件。

在次要边界l x =上，列出三个积分的应力边界条件：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=--=-Fy h h F dy Fl ly h F ydy lydy h F dy h h x xy h h h h l x x h h h h l x x h h )4(6)(12)(012)(2232/2/02/2/232/2/2/2/32/2/2/2/τσσ 满足应力边界条件因此，他们是该问题的解答。

3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次式的应力函数求解。

解（1）相容条件：设3223Dy Cxy y Bx Ax +++=Φ (a)不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。

（2）体力分量g f o f y x ρ==,由应力函数得应力分量的表达式Dy Cx x f yx x 6222+=-∂Φ∂=σ (b)gy By Ax y f yy y ρσ-+=-∂Φ∂=2622 (c)Cy Bx yx xy222--=∂∂Φ∂-=τ (d)（3)考察边界条件：利用边界条件确定待定系数先考察主要边界上0=y 的边界条件：0)(0==y y σ， 0)(0==y yx τ 将应力分量式(b)和式（c ）代入，这些边界条件要求06)(0===Ax y y σ，02)(0=-==Bx y xy τ 得A=0，B=0。

式(b)、（c ）、（d ）成为Dy Cx x 62+=σ （e ） gy y ρσ-= （f ）Cy xy 2-=τ （g ）根据斜边界的边界条件,它的边界线方程是αtan x y =,在斜面上没有任何面力，即0==y x f f ,按照一般的应力边界条件，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+====0)()(0)()(tan tan tan tan αααατστσx y xy x y y x y xy x y x l m m l 将(e)、（f ）、（g ）代入得0)tan 2()tan 62(=-++ααCx m Dx Cx l （h ） 0)tan 2()tan (=-+-ααρCx l gx m （i ）由图可见，ααπsin )2cos(),cos(-=+==x n l ， αcos ),cos(==y n m代入式（h ）、(i)求解C 和D,即得αρcot 2g C =，αρ2cot 3g D -= 将这些系数代入式(b)、（c ）、（d ）得应力分量的表达式2cot2cotcotxyxygx gygygyσραρασρτρα⎧=-⎪=-⎨⎪=-⎩4-12楔形体在两侧面上受有均布剪力q，如题4-12图所示.试求其应力分量。

解（1）应力函数)2sin2cos(2DCBA+++=Φϕϕϕρ，进行求解由应力函数Φ得应力分量⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧--=∂Φ∂∂∂-=+++=∂Φ∂=--+-=∂Φ∂+∂Φ∂=CBADCBADCBAϕϕρρρτϕϕϕρσϕϕϕϕρρρσρϕϕρ2cos22sin2)1()2sin2cos(2)2sin2cos(21122222（2）考察边界条件：根据对称性，得)(2/=αϕσ（a）q=2/)(αρϕτ（b）)(2/=-αϕσ（c）q-=-2/)(αρϕτ（d）由式（a）得2cos2sin20A B C Dααα+++=（e）由式（b）得2sin2cosA B C qαα--=（f）由式（c）得2cos2sin20A B C Dααα--+=（g）由式（d）得2sin2cosA B C qαα---=-（h）式（e）、（f）、（g）、(h)联立求解，得ααcot2,0,sin2qDCBqA-====将以上系数代入应力分量，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+-=αϕτααϕσααϕσρϕϕρsin 2sin )cot sin 2cos ()cot sin 2cos (q q q 4一13设有内半径为r,外半径为R 的圆筒受内压力q ，试求内半径和外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。

解 本题为轴对称问题，只有径向位移而无环向位移。

当圆筒只受内压力q 的情况下，取应力分量表达式（B=0），内外的应力边界条件要求0)(==r ρρϕτ，0)(==R ρρϕτ q r -==ρρσ)(，0)(==R ρρσ由表达式可见，前两个关于ρϕτ的条件是满足的，而后两个条件要求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+02222C RA q C r A由上式解得)(2222r R r qR A --=，)(2222r R qr C -= (a)把A,B,C 值代入轴对称应力状态下对应的位移分量，ϕϕρμρμρsin cos )1()1()(2222K I R r R E qr u ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--= （b ）0cos sin =+-=ϕϕρϕK I H u (c)式（c ）中的ϕρ,取任何值等式都成立，所以个自由项的系数为零H=I=K=0。

所以，轴对称问题的径向位移式（b ）为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=ρμρμρ2222)1()1()(R r R E qr u ，而圆简是属于平面应变问题，故上式中u E E -→-→1,12μμμ代替，则有)1(1)11()11(22222----+-+=rR E R qu μρρμμμμρ此时内径改变为)1()1()1(1)11()11(2222222222μμμμμμμμ-+-+-=----+-+=rR r R E qr rR Er r R qu r ， 外径改变为222222222)1()1(1)11()11(r R RrE qr rR ER R R qu R --=----+-+=μμμμμμ圆环厚度的改变为)1()1(2μμμ-++---=-r R r R E qr u u r R5.155.1精品文档5.2收集于网络，如有侵权请联系管理员删除。