1 23456 78已知一受力物体中某点的应力状态为：式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量之和。

为平均应力。

并说明这样分解的物理意义。

解：球应力张量作用下，单元体产生体变。

体变仅为弹性变形。

偏应力张量作用下单元体只产生畸变。

塑性变形只有在畸变时才可能出现。

关于岩土材料，上述观点不成立。

9一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。

若选取＝ay2做应力函数。

试求该物体的应力解、应变解和位移解。

（提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。

）解：，满足，是应力函数。

相应的应力分量为：，，；①应力边界条件：在x = h处，②将式①代入②得：，故知：，，；③由本构方程和几何方程得：④积分得：⑤⑥在x=0处u=0，则由式⑤得，f1(y)= 0；在y=0处v=0，则由式⑥得，f2(x)=0；因此，位移解为：附，对比另一方法：例，z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力p作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。

不计自重，且h>>b。

试选取适当的应力函数解此问题，求出相应的应力分量。

解答：1、确定应力函数分析截面内力：()()()0,0,0===x q x Q x M ，故选取,022=∂∂=xy φσ 积分得：()()y f y xf 21+=φ，代入相容方程，有：()()()()0242414422444=+=∂∂+∂∂∂+∂∂y f y xf yy x x φφφ， 要使对任意的 x 、y 成立，有()()()()0,04241==y f y f ，积分，得：()()232231,Ey Dy y f Cy By Ay y f +=++=，2323Ey Dy Cxy Bxy Axy ++++=φ。

2、计算应力分量()E Dy B Ay x yx 262622+++=∂∂=φσ， ,022=∂∂=x y φσC By Ay yx xy---=∂∂∂-=2322φτ3、由边界条件确定常数左右边界（2b y ±=）：0=y σ；0=xy τ；0,0432==-±-B C Bb Ab 上边界（h x =）：,22pb dy bbx -=⎰-σ,022=⎰-dy b b xy τ,022=⎰-dy y b b x σ2,p E O D C A -==== 4、应力解答为：0,0,==-=xy y x p τσσ10已知一半径为R＝50mm，厚度为t＝3mm的薄壁圆管，承受轴向拉伸和扭转的联合作用。

设管内各点处的应力状态均相同，且设在加载过程中始终保持，（采用柱坐标系，r为径向，θ为环向，z为圆管轴向。

）材料的屈服极限为＝400MPa。

试求此圆管材料屈服时（采用Mises屈服条件）的轴向载荷P和轴矩M s。

（提示：Mises屈服条件：；）解：据题意知一点应力状态为平面应力状态，如图示，且知，则，且= 0。

代入Mises屈服条件得：即：解得：200 MPa；轴力：P= = 2×50×10－3×3×10－3×200×106=扭矩：M= = 2×502×10－6×3×10－3×200×106= kN· m11在平面应力问题中，若给出一组应力解为：，，，式中a、b、c、d、e和f均为待定常数。

且已知该组应力解满足相容条件。

试问：这组应力解应再满足什么条件就是某一弹性力学平面应力问题的应力解。

（15分）解：应力解应再满足平衡微分方程即为弹性力学平面应力问题可能的应力解，代入平衡微分方程得：则知，只要满足条件a＝－f，e＝－d，b和c可取任意常数。

若给出一个具体的弹性力学平面应力问题，则再满足该问题的应力边界条件，该组应力分量函数即为一个具体的弹性力学平面应力问题的应力解。

12在物体内某点，确定其应力状态的一组应力分量为：=0，=0，=0，=0，=3a，=4a，知。

试求：（16分）①该点应力状态的主应力、和；②主应力的主方向；③主方向彼此正交；解：由式（2—19）知，各应力不变量为、，代入式（2—18）得：也即（1）因式分解得：（2）则求得三个主应力分别为。

设主应力与xyz三坐标轴夹角的方向余弦为、、。

将及已知条件代入式（2—13）得：（3）由式（3）前两式分别得：（4）将式（4）代入式（3）最后一式，可得0=0的恒等式。

再由式（2—15）得：则知；（5）同理可求得主应力的方向余弦、、和主应力的方向余弦、、，并且考虑到同一个主应力方向可表示成两种形式，则得：主方向为：；（6）主方向为：；（7）主方向为：；（8）若取主方向的一组方向余弦为，主方向的一组方向余弦为，则由空间两直线垂直的条件知：（9）由此证得主方向与主方向彼此正交。

同理可证得任意两主应力方向一定彼此正交。

13如图所示，楔形体OA、OB边界不受力。

楔形体夹角为2α，集中力P与y轴夹角为β。

试列出楔形体的应力边界条件。

（14分）解：楔形体左右两边界的逐点应力边界条件：当θ＝±α时，＝0，＝0；以半径为r任意截取上半部研究知：、14一矩形横截面柱体，如图所示，在柱体右侧面上作用着均布切向面力q，在柱体顶面作用均布压力p。

试选取：做应力函数。

式中A、B、C、D、E为待定常数。

试求：（16分）（1）上述式是否能做应力函数；（2）若可作为应力函数，确定出系数A、B、C、D、E。

（3）写出应力分量表达式。

（不计柱体的体力）解：据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即：；由此可知应力函数可取为：（a）将式（a）代入，可得：(b)故有：； (c)； (d)略去中的一次项和常数项后得：(e)相应的应力分量为：(f)边界条件：①处，，则； (g)②处，，则； (h)③在y = 0处，，，即由此得：，再代入式（h）得：；（i）由于在y=0处，，积分得：（j），积分得：（k）由方程(j ) (k)可求得：，投知各应力分量为：(l)据圣文南原理，在距处稍远处这一结果是适用的。

15已知受力物体内一点处应力状态为：（Mpa）且已知该点的一个主应力的值为2MPa。

试求：（15分）①应力分量的大小。

②主应力、和。

16已知一弹性力学问题的位移解为：（13分）；；；式中a为已知常数。

试求应变分量，并指出它们能否满足变形协调条件（即相容方程）。

解：将位移分量代入几何方程得：；；；由于应变分量是x的线性函数，固知它们必然满足变形协调条件：17设如图所示三角形悬臂梁，只受自重作用，梁材料的容重为。

若采用纯三次多项式：作应力函数，式中A、B、C、D为待定常数。

试求此悬臂梁的应力解。

（15分）解：将式代入知满足，可做应力函数，相应的应力分量为：（已知Fx＝0，Fy=γ）边界条件：①上边界：，，，代入上式得：A ＝ B ＝0，②斜边界：，，，，则：得：；于是应力解为：题四、2图18试列出下列各题所示问题的边界条件。

（每题10分，共20分。

）（1）试列出图示一变截面薄板梁左端面上的应力边界条件，如图所示。

题四、3、（1）图题四、3、（2）图（2）试列出半空间体在边界上受法向集中P作用——Boussinesq问题的应力边界条件，如图所示。

（1）左端面的应力边界条件为：据圣文南原理题四、3、（1）图（2）上边界：①当时，；②当时，；③当时，；在此边界上已知：，，；④当设想时，截取一平面，取上半部研究，则由平衡条件知：，已知：，对称性19一薄壁圆筒，承受轴向拉力及扭矩的作用，筒壁上一点处的轴向拉应力为，环向剪应力为，其余应力分量为零。

若使用Mises屈服条件，试求：（16分）1）材料屈服时的扭转剪应力应为多大？2）材料屈服时塑性应变增量之比，即：∶∶∶∶∶。

已知Mises屈服条件为：解：采用柱坐标，则圆筒内一点的应力状态为：则miss条件知：解得：；此即为圆筒屈服时，一点横截面上的剪应力。

已知：则：由增量理论知：则：即：20如图所示一半圆环，在外壁只受的法向面力作用，内壁不受力作用。

A端为固定端，B端自由。

试写出该问题的逐点应力边界条件和位移边界条件。

（15分）、解：逐点应力边界条件：当r＝a时，＝0，＝0；当r＝b时，＝qsiθ，＝0；当θ=π时，＝0，＝0；A端位移边界条件：当θ＝0 ，时，ur＝0 ，uθ＝0 ，且过A点处径向微线素不转动，即＝0；或环向微线素不转动，即=0。

21已知一点的应变状态为：，，，，，。

试将其分解为球应变状态与偏斜应变状态。

（15分）解：；；22已知受力物体内一点处应力状态为：（Mpa）且已知该点的一个主应力的值为2MPa。

试求：（18分）①应力分量的大小；②主应力、和。

解（1）：；即：，将：代入上式解得：；故知：由：又解（2）：代入教材、公式：代入由：，且由上式知：2式知，由3式，故，则知：；（由1式）再由：展开得：；则知：；由：即：；；再由：知：23一厚壁圆筒，内半径为a，外半径为b ，仅承受均匀内压q作用（视为平面应变问题）。

圆筒材料为理想弹塑性，屈服极限为。

试用Tresca屈服条件，分析计算该圆筒开始进入塑性状态时所能承受的内压力q的值。

已知圆筒处于弹性状态时的应力解为：；；；；；；上式中：a≤r≤b。

（16分）解：由题目所给条件知：则由Tresca条件：知：则知：24梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。

已知水的比重为，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。

25作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。

根据材料力学分析结果，该梁横截面的应力分量为试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。

26单位厚度的楔形体，材料比重为，楔形体左侧作用比重为的液体，如图所示。

试写出楔形体的边界条件。

27已知球体的半径为r，材料的密度为1，球体在密度为1（1＞1）的液体中漂浮，如图所示。

试写出球体的面力边界条件。

28矩形横截面悬臂梁作用线性分布载荷，如图所示。

试根据材料力学应力解答推导挤压应力y的表达式。

29等厚度板沿周边作用着均匀压力q，若O点不能移动和转动，试求板内任意点的位移分量。

30简支梁仅承受自身重量，材料的比重为，试检验函数=Ax2y3+By5+C y3+Dx2yf是否可以作为应力函数，并且求各个待定系数。

31建筑在水下的墙体受水压，轴向压力F和侧向力F作用，如图所示。

已知墙体的端部与水平面等高，水的比重为，侧向力与水平面距离为2h，设应力函数为=Ay3+Bx2+Cxy+Dx3y+Ex3f试求y =3h墙体截面的应力分量。

32已知如图所示单位厚度的矩形薄板，周边作用着均匀剪力q。