专题21 期中复习知识梳理一、集合与命题1．区分集合中元素的形式：2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性．3．集合的性质：① 任何一个集合P 都是它本身的子集，记为P P ⊆． ① 空集是任何集合P 的子集，记为P ⊆∅． ① 空集是任何非空集合P 的真子集，记为P ∅．注意：若条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了∅=A 的情况．集合的运算：①()()C B A C B A =、()()C B A C B A =；()()()UUUA B A B =、()()()UUUA B A B =．①UUUA B A A B B A B B A AB =⇔=⇔⊆⇔⊆⇔=∅．①对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为：n2、12-n 、12-n 、22-n．4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题． ① 命题的四种形式及其内在联系：原命题：如果α，那么β； 逆命题：如果β，那么α； 否命题：如果α，那么β；逆否命题：如果β，那么α；① 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲⇔乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题．① 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题． ① 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑． 5．常见结论的否定形式：6．充要条件：在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果． 二、不等式1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算） ① b a >且c b >⇒c a >；① 推论：①．a b a c b c >⇔±>±； ①． b a >且d c >⇒d b c a +>+；① 0000ac bcc a b ac bc c ac bc c >>⎧⎪>⇒===⎨⎪<<⎩；① 推论：①．0,0a b c d ac bd >>>>⇒>； ①．b a >且a 、b 同号11a b⇒<； ①．b a >>0110a b⇒>>； ①．0,0,a b a b ααα>>>⇒>>； ① 0>>b a ，0>m ⇒ma mb a b ++<； ① ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-000b a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧<=>b b b a ；2．解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）① 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：①．分解因式⇒找到零点； ①．画数轴⇒标根⇒画波浪线； ①．根据不等号，确定解集； 注意点：①．分解因式所得到的每一个因式必须为x 的一次式； ①．每个因式中x 的系数必须为正．①绝对值不等式−−−→关键去绝对值：①．x a x a a >⇔><-或 )0(>a ； ①．x a a x a <⇔-<<)0(>a ；①．22a b a b >⇔>； ①．()()()()()(0)f x g x g x f x g x >>⇔<-或()()x g x f >；①．()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<；① 解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键． 而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述① 对于不等式恒成立问题，常用“函数思想．．．．”、“分离变量思想．．．．．．”以及“图象思想．．．．”． 3．基本不等式：①,a b ∈R ，则222a b ab +≥，当且仅当b a =时，等号成立．,a b +∈R，则a b +≥b a =时，等号成立．综上，若,a b ∈R ，则ab b a b a 22)(222≥+≥+，当且仅当b a =时，等号成立． *①若,a b +∈R2112a b a b+≥≥≥+，当且仅当b a =时，等号成立．*①120,1,1120,1,x x x xx x x x x x⎧≥>==⎪⎪+⎨⎪≤-<==-⎪⎩当且仅当即时等号成立当且仅当即时等号成立，，．4．不等式的证明：① 比较法：作差 → 因式分解或配方 → 与“0”比较大小 →① 综合法：由因导果．① 分析法：执果索因；基本步骤：要证即证即证．① 反证法：正难则反．① 最值法：()max x f a >，则)(x f a >恒成立； ()min x f a <，则)(x f a <恒成立．三、幂、指与对数1、幂的有关概念：正整数指数幂：*)n n a a a an N =⋅⋅⋅⋅⋅∈个（零指数幂：01(0)a a =≠负整数指数幂：*1(0,)p p a a p N a-=≠∈ 分数指数幂：m *n0,,1)na a m n N n =>∈>且*10,,,1)m nm naa m n N n a-==>∈>1.根式的运算性质：(1)当n 为任意正整数时，()n=a(2)当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a |=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a(3)根式的基本性质：n m npmp a a =，（a ≥0） 2.分数指数幂的运算性质：)()(),()(),(Q n b a ab Q n m aa Q n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+一、对数1、对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .易得:log a N a N =——对数恒等式，自然对数：以e 为底的对数成为自然对然，记作ln,常用对数：以10为底的对数，记作lg 。

实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式． 2、指数式与对数式的关系：n aa b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。

3、对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log aNM=log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④log m na M =nmlog a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ⑤换底公式：log b N =bNa a log log （0<a ≠1，0<b ≠1，N ＞0）.例题解析 一、集合与命题（一）集合的概念与运算【例1】已知集合A =},1|{2Z x x y x ∈-=,},12|{A x x y y B ∈-==,则B A =_____．【例2】集合+∈∈R y R x ,，{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--=---++=1,2,,1,,12y y y B x x x x A ，B A =，求y x ,． 【例3】已知集合{}{}k x k x B k x k x A <<-=-<<+-=,3622，若A B ，求实数k 的取值范围．【例4】集合{}(){}{}22224430,10,220A x x ax a B x x a x a C x x ax a =+-+==+-+==+-=， 若C B A ,,中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．【巩固训练】1．{}{}=⋂∈++-==∈-==B A R x x x y y x B R x x y y x A ,,152),(,,2),(2 ．2．若集合{}2135A x a x a =+≤≤-，{}322B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有实数a 的集合是 ( )A ．{}19a a ≤≤B ．{}69a a ≤≤C ．{}9a a ≤D ．∅3．已知集合()(){}210M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a 的值为______．4．设集合},0|{},0422|{2<==++-=x x B m x x x A ，φ≠⋂B A 若,求实数m 的取值范围．（二）命题与充要条件【例5】命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是___________________________．【例6】一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要．．．．．条件是_____．【巩固训练】1．有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_____．2．若非空集合,,A B C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则()A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件（三）集合与命题综合应用【例7】集合{}1,2,...,2008M =，若X M ⊆，X ≠∅，x a 为X 中最大数与最小数的和（若集合X 中只有一个元素，则此元素既为最大数，又为最小数），那么，对M 的所有非空子集，全部x a 的平均值为__________.【例8】（2015崇明一模理14文14）若是一个集合，τ是一个以的某些子集为元素的集合，且满足： （1）属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）中任意多个元素的交集属于τ． 则称τ是集合上的一个拓扑．已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：① {},{},{},{,,}a c a b c τ=∅；② {},{},{},{,},{,,}b c b c a b c τ=∅；③ {},{},{,},{,}a a b a c τ=∅；④ {},{,},{,},{},{,,}a c b c c a b c τ=∅．其中是集合上的拓扑的集合τ的序号是 ． （写出所有集合上的拓扑的集合τ的序号）【巩固训练】1．设集合{123456}M =，，，，，，12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是 ．X X X τX X X2．对正整数n ，记{}1,2,3,,n I n =，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭.(1) 在集合n I 中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.求所有子集的元素之和。