❖ 数字通信3数.据1帧问结构题描述（信道估计为例）
收发端已知
接收端未知 D=N-P
1
P P+1
N
导频xP
数据xD
hp, p=1,…,P
hd, d=1,…,D
Phase I：信道估计 Phase II：信号检测
❖ 信道估计：根据yP、xP以及hP的统计 信息，估计hP，即： (yP, xP, stat_info(hP))hP （如yP=hPxP+w)
p
xd
1
ˆmse
p x d
11
ˆm最se 小均p 方xd误差估计
注： 1.最小均方误差估计的估计量实际是条件均值
ˆmse
p x d E x
2.最小均方误差估计的条件平均代价实际是条件方差
Cmse ˆ x
ˆmse
2
p
x
d
E x
2 p x d
观测方程为 xk nk , k 1,2,, N
其中nk是均值为零，方差为
2 n
的独立同分布高斯随机噪声
被估计量
是均值为零，方差为
❖ 可行性：一般信道都是slowly time varying的（相干时间>>时延要 求），因此hd≈hp
❖ 其他估计问题：载波频率、相位、时延等
1
建模
θ 参量空间
观测空间 R
px θ
估计规则
θˆ x
➢参量空间： 需要接收端作出估计的参量集合 ➢观测空间： 接收端收到的观测信号的集合
➢概率映射： 信源发送信号到接收端过程中，会有噪声的影响，观测信号中 包含被估计矢量的信息，所以观测信号是以被估计矢量为参
2
θ~x θ θˆx
本章的核心问题之一就是研究上述函数的构造方法，评估所构造估计量的优劣。
3
3.2 随机参量的贝叶斯估计
❖ 常用代价函数 ❖ 贝叶斯估计的概念 ❖ 最小均方误差估计 ❖ 最大后验概率估计 ❖ 条件中值估计 ❖ 最佳估计的不变性
4
贝叶斯估计：使平代均代价价函最小数的一和种估贝计准叶则斯。 估计
误差平方代价函数
c~ ˆ 2
误差绝对值代价函数Biblioteka c~ ˆ均匀代价函数
c
c ˆ
1,
/2
0, / 2
代价函数的基本特性：非负性和 ~ 0 时的最小性。
5
平均代价
设被估计的单随机变量的先验概率密度函数为 p
易知代价函数 c ~ 是随机参量 和观测矢量 x的函数
平均代价C为
j
lim
M
i
cij
P
Ri
x|Hj
dxP
Hj
lim M j
c j, x P
R
x|Hj
dxP
Hj
R c , x P x | dxp d
R c , x P x, dxd
估计：参数连续取值；检测：参数取自有限个离散点集合。
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检测与估计的联系
❖ 检测：参量的状态是有限的（M-ary检测） ❖ 估计：参量的状态是连续的（比如实数域，
最小。
C ˆ x
c ~
p
xd
条件平均代价
7
Relation with cost in M-ary Detection
M 1 M 1
C
lim
M
j0
i0
cij P
Hi | H j
P
Hj
lim M
j
lim
M
i
cij P
Hi | H j
P
Hj
lim M
3.最小均方误差估计量的另一种形式
ˆmse
p x d
p , x px
d
p
,
x
d
p
,
x d
p
px
d
p
px
d
12
选定的代价函数为 c 最 c大 后ˆ 验1估, 计 / 2
C ˆ x
c ~
p
xd
0, / 2
ˆ
2p x
d
p ˆ
x
d
2
ˆ
1
p 2
ˆ
C c ~ px, dxd
在 p 给定，选定代价函数的条件下，使平均代价最小的估计称为贝叶斯 估计。
6
由 px, p xpx 平均代价
C c ~ px, dxd
c ~
p
xpxdxd
px
c
~
p
xd dx
c ~
p
x d
是非负值，
因此使平均代价最小，就等价于使
C ˆ x
c ~
p x d
ˆ
2
p
xd
求解方法
使条件平均代价最小的一个必要条件是对上式中 ˆ 求偏导 令偏导为零来求得最佳的估计量 ˆ
10
最小均方误差估计
C ˆ x
ˆ
ˆ
ˆ
2
p
xd
ˆ
2 2ˆ ˆ2
p
x d
2
p
x
d 2ˆ
p
x
d
0
ˆˆmse
数的随机矢量，用 p x θ 来描述。
2
建模 ➢估计规则： 利用被估计矢量的先验知识和观测信号的统计特性，根据指标
要求，构造观测矢量的函数来定义估计量。
θˆx gx gx1, x2,, xN
估计量性能的评估
估计量的均值 E θˆ x
估计量的均方误差
E
θ~ 2 x
E
θ
θˆx
ln p x
0
ˆmap
ln p x
ln p
ˆmap
0
p
x
px p
px
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选定的代价函数为
条件中值估计
c~ ˆ
C ˆ x
c ~
p
x d
ˆ p
xd
ˆ ˆ
p
x d ˆ ˆ
p
x d
求解方法
使条件平均代价最小的一个必要条件是对上式中 ˆ 求偏导 令偏导为零来求得最佳的估计量 ˆ
x
d
2
ˆ p 2
ˆ
x
d
p
ˆ
x
2
使条件平均代价最小，应该使
ˆ
2 ˆ
p
x
d 取到最大值
当 很小时，为保证上式最大，应2 当选择估计量 ˆ ，
使它处于后验概率密度函数 p x 最大值的位置。
13
最大后验估计
根据上述分析，得到最大后验概率估计量为
两种等价形式
p x
0
ˆmap
复数域） ❖ 当M∞时，检测就变成了估计 ❖ 用检测做估计：复杂度太高，不合适 ❖ 用估计做检测：可以，实际上经常这样用
比如，在衰落信道y=hx+w的信号检测中，经常 对信号先进行估计得到x的估计值x1（复数域上 的任意值），然后将其量化到信号星座上的某个9
选定的代价函数为 最小均方误差估计
c~ ˆ 2
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ˆ
ˆ
ˆ
条件中值估计
p
xd
ˆ
ˆ
p
xd
ˆ
ˆ ˆ
p
xd
ˆ
p
xd
p
ˆ
xd
ˆ ˆ
p
xd
ˆ
p
x d
ˆp ˆ x
ˆp ˆ x
ˆp ˆ x
ˆ
p
x d
ˆp ˆ x
ˆ
p
x d
ˆ
p
x d
ˆ
p
x d
ˆ
p
x d
16
例1 研究在加性噪声中单随机参量 的估计问题。