第三章 可测函数的知识要点与复习自测一、可测函数的定义的知识要点：◇ 体会可测函数从简单到一般的定义思想，并能根据这一思想，按可测集上的简单函数到非负可测函数再到一般可测函数的程序，正确写出可测函数的定义。

◇ 掌握简单函数的四则运算性和复合运算性，并理解复合运算性中为什么必须要求内层函数是简单函数，才能保证复合之后的函数是简单函数。

◇ 掌握非负可测函数与简单函数的极限关系（即非负可测函数的定义），仔细体会刻画非负可测函数的测度特征的特征定理的证明过程，掌握此定理证明中通过对值域区间作不交区间分解（即2101[0,]{[,)}[,]22m m m m k k k m -=++∞=⋃⋃+∞），再借助逆象集导出可测集E 的有限不交可测分解的方法，即2101[0()][()][()]22m m m m k k k E E x f x E x f x E x f x m -=+=≤≤+∞=⋃≤<⋃≥，并能根据这样的分解将非负可测函数()f x 具体表示成一列单调递增非负简单函数列{()m x ϕ}的极限，即()lim ()m m f x x ϕ→∞=，其中1,[()]0,1,,21222(),[()]m m m mm k k k x E x f x k m x m x E x f x m ϕ⎧+∈≤<=-⎪=⎨⎪∈≥⎩。

◇ 掌握一般可测函数的定义及等价条件，并能根据定义及等价条件证明一些具体实函数的可测性（比如：零测集上的任何实函数；可测集上的连续函数；1R 上的区间上的单调函数等），并能正确说明可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数；◇ 能根据可测函数的定义及等价定义中所涉及的逆象集的可测性证明1R 上的区间，开集，闭集，Borel 集在可测函数下的逆象集仍为可测集。

复习自测题：1、证明：（1）设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负简单函数，(,)p G f E 表示()f x 在E 上的下方图形，则(,)p G f E 为1n R+上的可测集，并给出(,)p mG f E 的一个计算公式； （2）设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负可测函数，(,)p G f E 表示()f x 在E 上的下方图形，则(,)p G f E 为1n R+上的可测集，并给出(,)p mG f E 的一个计算公式。

2、证明：可测集上的简单函数和非负可测函数也是一般可测函数定义下的可测函数。

3、（1）设nE R ⊂，1,()0,\E nx E x x R Eχ∈⎧=⎨∈⎩（nx R ∈）为E 的示性函数，证明：()E x χ为n R 上的可测函数⇔E 为n R 中的可测集；（2）利用（1）据理说明：设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的非负简单函数（或非负可测函数），11(,)n p G f E E R R +⊂⨯⊂表示()f x 在E 上的下方图形，则()()(,)11,,(,)(,)0,,\(,)pp Gf E p x y G f E x y x y E R G f E χ∈⎧⎪=⎨∈⨯⎪⎩，()1,x y E R ∈⨯， 为11n E R R +⨯⊂上的可测函数。

4、设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的可测函数，证明： （1）对1R 上的任意区间I ，1()f I -为nR 上的可测集；（2）对1R 上的开集G 和闭集F ，1()f G -和1()f F -为nR 上的可测集； （3）对1R 上的G δ型集G 和F σ型集F ，1()f G -和1()f F -为nR 上的可测集； （4）对1R 上的Borel 集G ，1()f G -为nR 上的可测集。

5、（1）设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的实函数，证明：()f x 为E 上的可测函数⇔对任意,a b R ∈，a b <，()E x a f x b ⎡≤<⎤⎣⎦和()E x f x ⎡=+∞⎤⎣⎦都是nR 中的可测集； 提示：1()()()1()().k E x a f x E x a f x E x f x E x a k f x a k E x f x ∞=⎡≤⎤=⎡≤<+∞⎤⋃⎡=+∞⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫=⎡+-≤<+⎤⎡=+∞⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ （2）设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的几乎处处有限的实函数，证明：()f x 为E 上的可测函数⇔对任意,a b R ∈，a b <，()E x a f x b ⎡≤<⎤⎣⎦是nR 中的可测集。

6、证明：零测集上的任何实函数；可测集上的连续函数；1R 上的区间上的单调函数都是可测函数。

7、设nE R ⊂为可测集，且mE <+∞，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数， （1）证明：对任意0ε>，存在可测子集E E ε⊂，使得()f x 在E ε上有界，且()\m E E εε<；（2）利用（1）和可测集与闭集的关系进一步证明：对任意0ε>，存在闭子集E E ε⊂，使得()f x 在E ε上有界，且()\m E E εε<。

提示：1()()k E x f x E x f x k ∞=⎡⎤⎡⎤=+∞=>⎣⎦⎣⎦ ，()E x f x k ⎡⎤>⎣⎦单调递减。

二、可测函数的基本性质的知识要点：◇ 掌握可测函数的基本性质，并能熟练地利用性质来判断一些函数的可测性； ◇ 掌握一般几乎处处有限的可测函数与简单函数列的极限关系，并体会此关系在讨论可测函数与连续函数之间关系（Lusin 定理）中的作用。

利用可测函数的定义和等价条件◇ 归纳判断函数可测性的常用方法利用可测函数的基本性质复习自测题：1、利用可测函数的子集性和并集性证明：（1）设()f x 定义在(,)a b 上，若对任意的0ε>，()f x 为[,]a b εε+-上可测函数，则()f x 必为(,)a b 上的可测函数；（2）设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的可测函数，则(),[()0]()sgn ()0,[()0](),[()0]f x x E x f x f x f x x E x f x f x x E x f x ⎧∈>⎪=∈=⎨⎪-∈<⎩，为E 上的可测可测函数；2、利用可测函数列的极限性证明：（1）若一元实函数()f x 在(,)-∞+∞上可导，则导函数()f x '必为(,)-∞+∞上的可测函数；（2）若将（1）中的“(,)-∞+∞”改为“有限开区间(,)a b ”，则如何证明()f x '仍为(,)a b 上的可测函数。

3、设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的有限可测函数，()F u 为1G R ⊂上的连续函数，且()f E G ⊂，则[]()()F f x F f x = 为E 上的可测函数。

4、设nE R ⊂为可测集，()f x 为E 上的有限可测函数，(,)F x y 为1n R +上实函数，满足：（1）对任意固定的x E ∈，(,)F x y 为y 的连续函数， （2）对于任意固定的1y R ∈，(,)F x y 为E 上的可测函数 证明：(,())F x f x 为E 上的可测函数。

三、可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间的关系（叶果洛夫定理）的知识要点：◇ 能正确的写出叶果洛夫定理，理解并掌握叶果洛夫定理的条件和结论；注意体会定理中的条件在定理证明中的作用，体会导致定理结论成立的关键条件，即0ε∀>，lim [()()]0k n k n m E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=，明白为什么叶果洛夫定理中“mE <+∞”和“可测函数列中每一项函数以及它的极限函数都要求是几乎处处有限的”这两个条件都是不可缺少的条件的原因。

◇ 叶果洛夫定理中导致结论成立的关键条件：0ε∀>，lim [()()]0k n k n m E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=，除了能导致定理的结论成立外，为什么还能导出lim ()()..→∞=n n f x f x a e 于E 以及()()n f x f x ⇒于E ，进而明白条件： 0ε∀>，lim [()()]0k n k n m E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=，实际上是（1）lim ()()..→∞=n n f x f x a e 于E ，（2）()()n f x f x ⇒于E ，（3）{}()n f x 在E 上本性一致收敛于()f x ，这三者之间的纽带。

◇ 掌握叶果洛夫定理结论在应用中便于应用的两种细致形式： 设E 为可测集，且mE <+∞，()n f x （1,2,n = ），()f x 都是E 上几乎处处有限的可测函数，若lim ()()..→∞=n n f x f x a e 于E ，则（1）存在E 的一列可测子集{}n E ，使得在每个n E 上，{}()n f x 一致收敛于()f x ，且()1\n m E E n <，进而1\0n n m E E ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）存在E 的一列单调递增的可测子集{}n E ，使得在每个n E 上，{}()n f x 一致收敛于()f x ，且()1\n m E E n <，进而1\0n n m E E ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭。

◇ 能正确的写出叶果洛夫定理的逆定理，并掌握叶果洛夫定理的逆定理的证明，并体会叶果洛夫定理结论的细致形式在证明中所起的作用（实际上叶果洛夫定理的逆定理的证明方法也是证明一个函数列几乎处处收敛时所采用的常用方法）。

◇ 能根据叶果洛夫定理以及它的逆定理据理说明：在mE <+∞的条件下， （1）lim ()()..k k f x f x a e →∞=于E ，（2）关键条件：0ε∀>，lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=，（3）叶果洛夫定理结论：{}()k f x 在E 上本性一致收敛于()f x ， 三者之间的关系是等价关系。

复习自测题：1、利用叶果洛夫定理证明：设nE R ⊂为可测集，且mE <+∞，()()1,2,k f x k = ，()f x 都是E 上几乎处处有限的可测函数，若lim ()()..k k f x f x a e →∞=于E ，则对任意0ε>，存在可测子集E E ε⊂，使得{}()k f x 在E ε上一致有界，且()\m E E εε<；提示：利用“二”中的自测题的第6题和叶果洛夫定理。

2、设nE R ⊂为可测集，()()1,2,k f x k = ，()f x 都是E 上几乎处处有限的可测函数，若0ε∀>，lim [()()]0k n k nm E x f x f x ε∞→∞=⋃-≥=，则lim ()()..k k f x f x a e →∞=于E 。