专题1 函数的定义域
函数的定义域
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常见基本初等函数定义域的基本要求
(1)分式函数中分母不等于零．
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．
(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.
(6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．
(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .
对于抽象函数定义域的求解
(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；
(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
已知函数定义域求参数的思想方法
已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．
[例1] y ＝ x －12x
－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2)
C ．(－2,0)∪[1,2)
D ．[－2,0]∪[1,2]
1．函数f (x )＝
10＋9x －x 2
lg x －1的定义域为( ) A ．[1,10]
B ．[1,2)∪(2,10]
C ．(1,10]
D ．(1,2)∪(2,10] 解析：选D 要使函数f (x )有意义，则x 须满足⎩⎨⎧ 10＋9x －x 2≥0，x －1>0，
lg x －1
≠0，即⎩⎨⎧ x ＋1
x －10≤0，x >1，
x ≠2，解得1<x ≤10，且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,10]．
2.若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f 2x x －1
的定义域为________． [解析] 由题意得，⎩⎨⎧ x －1≠0，
0≤2x ≤2，
解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．
[答案] [0,1) 3. (·杭州模拟)若函数f (x )＝mx 2
＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )
A ．[0,4)
B ．(0,4)
C ．[4，＋∞)
D ．[0,4]
1．函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( )
A ．(0,2)
B ．[0,2)
C ．(0,1]
D ．[0,2]
解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)．
2．(·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2
的定义域为( ) A ．(－∞，1]
B ．[－1,1]
C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎨⎧ 1－x 2≥0，
2x 2－3x －2≠0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12
，
所以函数的定义域为⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1.故选D. 3．函数f (x )＝1－|x －1|a x －1
(a >0且a ≠1)的定义域为________． 解析：由题意得⎩⎨⎧ 1－|x －1|≥0，
a x －1≠0，
解得⎩⎨⎧ 0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．
答案：(0,2] 4．已知函数y ＝f (x 2
－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．
解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．
答案：[－1,2]
5．若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．
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