构造辅助函数解题一、 直接构造1.实数k 为何值时，不等式x e kx ≥对x R ∀∈恒成立？二、稍作变形2. 设函数()1(01)ln f x x x x x=>≠且 (I)求()f x 的单调区间；(II)已知12a x x >对(0,1)x ∀∈成立，求实数a 的取值范围.三、适当放缩3. 设函数1()ln(1)(1)n f x x x =+--.其中n N *∈.求证：对n N *∀∈，当2x ≥时，有()1f x x ≤-.四、化离散为连续4.证明：对n N *∀∈，不等式23111ln(1)n n n +>-都成立.五、二次构造5.函数()22ln (1)1x f x x x =+-+ (1)求()f x 的单调区间；(2)若不等式11n a e n +⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭对任意的n N *∈都成立，求a 的最大值.六、构造双函数 6.证明：对0x ∀>，都有12ln x x e ex>-成立.七、注意繁简之分7.设()ln f x x =. (1)求函数()()1g x f x x =+-的最大值；(2)已知0a b <<，求证：()()222()a b a f b f a a b -->+.附2012年高考题分类：一、数列与不等式1.已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >.(1)求a 的值；(2)若对任意的[)0,x ∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值；(3)证明：12ln(21)2()21ni n n N i *=-+<∈∑-2. 设函数()1(0)x xf x ae b a ae =++> （Ⅰ）求()f x 在[)0,+∞内的最小值；（Ⅱ）设曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线方程为y=32x ,求a,b 的值。
3. 设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈.（Ⅰ）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点； （Ⅱ）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点，判断数列23,,,n x x x 的增减性。
4.（I ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<，求()f x 的最小值； （II ）试用（I ）的结果证明如下命题：设12120,0,,a a b b ≥≥为正有理数，若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （III ）请将（II ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。
注：当α为正有理数时，有求道公式()1x x ααα-'=.5.函数()223f x x x =--，定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点()(4,5),(,)n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标.(1)证明：123n n x x +≤<<；(2)求数列{}n x 的通项公式.6. 已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A ，设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距。
（Ⅰ）用a 和n 表示()f n ；（Ⅱ）求对所有n 都有()()22111f n n f n n -≥++成立的a 的最小值； （Ⅲ）当01a <<时，比较()()112n k f k f k =∑-与()()()()127401f f n f f -∙-的大小，并说明理由。
7.设数列{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S a S a +=+，其中20a ≠.(1)求证：{}n a 是首项为1的等比数列；(2)若21a >-，求证：1()2n n n S a a ≤+，并给出等号成立的充要条件.二、 恒成立8. 已知函数()ax f x e x =-，其中0a ≠。
(1)若对一切x R ∈，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合；(2)在函数()f x 的图像上取定两点()()11,A x f x ，()()()2212,B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，问：是否存在()012,x x x ∈，使()0f x k '>成立？若存在，求x 0的取值范围；若不存在，请说明理由。
9. 已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+； （1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。
10. 已知函数f(x) = x ek x +ln （k 为常数，e=2.71828……是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x 轴平行。
（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设g(x)=(x 2+x) '()f x ,其中'()f x 为f(x)的导函数，证明：对任意x ＞0，21)(-+<e x g 。
11.设函数()(1)(0),n f x ax x b x n =-+>为正整数，,a b 为常数.曲线()y f x =在()(1,1)f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值；(2)求函数()f x 的最大值；(3)证明：()1f x ne<.三、 含参不等式的求解12. 设a ＜1，集合{}{}20,23(1)60A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D AB =（1）求集合D （用区间表示）（2）求函数32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点。
13. 本题满分14分）已知a>0,b ∈R ，函数f(x)=4ax 3-2bx-a+b 。
（Ⅰ）证明：当0≤x ≤1时。
（ⅰ）函数f(x)的最大值为|2a b a -+（ⅱ）f(x)+ 2a b a -+≥0;（Ⅱ）若-1≤ f(x) ≤1对x ∈[]0,1恒成立，求a+b 的取值范围。
14. 已知函数f （x ）=ax 2+1（a>0）,g(x)=x 3+bx(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值；(2) 当a 2=4b 时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值，四、 二阶导数15. 已知函数f （x ）=e x ＋ax 2-ex ，a ∈R 。
（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线平行于x 轴，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）试确定a 的取值范围，使得曲线y=f （x ）上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P 。
五、 三角函数16．已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-， （1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
17. 设函数()f x =2x +sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}n x （Ⅰ）求数列{}n x（Ⅱ）设{}n x 的前n 项和为n S ，求n S sin .18.设函数()[]cos ,0,f x ax x x π=+∈.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()1sin f x x ≤+，求a 的取值范围.六、 最值19.已知函数()3211,32a f x x x ax a x R -=+--∈，其中0a >. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在区间()2,0-内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当1a =时，设函数()f x 在区间[],3t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-，求函数()g t 在区间[]3,1--上的最小值.20. 已知函数2()()xf x ax bx c e =++在[0,1]上单调递减且满足(0)1,(1)0f f ==。
（1）求a 的取值范围；（2）设()()'()g x f x f x =-，求()g x 在[0,1]上的最大值和最小值。
21.设函数()(,,)n f x x bx c n N b c R +=++∈∈. (1)设2,1,2n b c ≥==-，求证：()f x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一零点； (2)设n 为偶数，()()11,11f f -≤≤，求3b c +的最小值和最大值；(3)设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-，有()()124f x f x -≤，求b 的取值范围.七、 新函数22. 若函数()h x 满足（1）(0)1h =，(1)0h =；（2）对任意[0,1]a ∈，有(())h h a a =；（3）在(0,1)上单调递减。
则称()h x 为补函数。
已知函数11()()(1,0)1pp px h x p x λλ-=>->+。
（1）判函数()h x 是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在[0,1]m ∈，使得()h m m =，称m 是函数()h x 的中介元。
记1()p n N n+=∈时()h x 的中介元为n x ，且1()n i i S x x ==∑，若对任意的n N +∈，都有12n S <，求λ的取值范围； （3）当0λ=，(0,1)x ∈时，函数()y h x =的图像总在直线1y x =-的上方，求p 的取值范围。
八、 极值点23.若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点.已知,a b 为实数，1和-1是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点. (1)求a 和b 的值；(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；(3)设()()()[],2,2h x ff x c c =-∈-，求函数()y h x =的零点个数.。