bf (b ) a f (a ) x， 【证明 1】 令 F ( x ) xf ( x ) ba
bf (b ) a f (a ) x ba
则 F ( x ) f ( x ) x f ( x )
bf (b ) a f (a ) ， ba
则 F ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，
令 F( x) g( x) ， 对 F ( x ) 应用零点定理.
例 3 中 g(0) g(1) (a b c ) ( 3a 2b c ) 符号不定；
3 2 F ( x ) 4 ax 3 bx 2cx （a b c） 令
4 3 2 F ( x ) ax bx cx (a b c) x , 对 F( x) 应用罗尔定理. 则
f ( b ) f ( a ) f ( ) ln b a
f (b ) f ( a ) f ( ) 【分析】 原结论变形： ， ln b ln a
令
f (b) f (a ) k ， ln b ln a
f ( b ) k ln b f (a ) k ln a （这是对称式） ，
(3) 分析关于端点的代数表达式是否为对称式或轮换对称式，
若是，只要把端点的 a 改成
x ，相应的函数值 f (a ) 改成
f ( x) ， 则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数 F ( x ) .
例 4：设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 证明：在 (a, b) 内至少存在一个 ，使
则 F ( x ) 在 [0, 1] 上连续， 在 ( 0, 1) 内可导，
且 F ( 0 ) F (1) 0 ，
F ( x) 4ax3 3bx2 2cx （a b c）
使得 F ( ) 0 由罗尔定理：在 (0, 1) 内至少存在一点 ，
3 2 4 ax 3 bx 2 cx a b c 在 (0, 1) 即 是方程
例 5： （P146 习题 3.1 第 7 题） 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， a b 0 ，证明：在 ( a , b ) 内至少存在一个
例 3(P147EX10).证明：方程
4ax3 3bx2 2cx （a b c） 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个根.
分析： 上述两个方程的左端构成的函数 g( x ) 在所给的
闭区间上都是连续，在开区间内可导的. 但例 2 中 g(0) g(a b) b a[1 sin( a b)] 0 ，
及可导，会考虑利用介值定理或零点定理. 如果证明中
缺少区间端点的函数值的性质， 要考虑利用最值定理后,
再利用介值定理.
例 1.设 f (x) 在 [a, b]上连续，xi [a, b]，ti 0 (i 1, 2, , n) ，
t 且
i 1
n
i
1
，证明：至少存在一个 [a , b] ，使得
则 F ( x ) 在区间 [a, b] 上连续，在 (a , b) 内可导，
f (b ) f (a ) 又 F ( a ) f ( a ) ln b ln a ln a
ln b f (a ) ln a f (a ) ln a f (b) ln a f (a ) ln b ln a
2 2
F (a ) F (b) ，
即 F ( x ) 满足罗尔定理，
于是，至少 一个 (a , b ) ，使得 F ( ) 0
即
f ( ) f ( ) bf (b) a f (a ) 0 ba
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) 亦即 ba
构造辅助函数法
介值定理：
设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续， 且 f (a ) f (b) ，
至少存在一 则对介于 f (a ) 与 f (b) 之间的任意一个数 ， 点 (a , b) ，使得 f ( ) .
一般来说，命题中涉及闭区间上连续函数， 但不涉

ln b f (a ) ln a f (b) ln b ln a
F (b) f (b )
f (b) f (a ) ln b ln b ln a

ln b f (b) ln a f (b) ln b f (b) ln b f (a ) ln b ln a

ln b f (a ) ln a f (b) ln b ln a
F (a) F (b)
即 F ( x ) 满足罗尔定理，
于是，至少 一个 (a , b) ，使得 F ( ) 0
f (b) f (a ) 1 f ( ) 0 即 ， ln b ln a
ab 0
b 亦即 f (b ) f (a ) f ( ) ln a
f ( ) t i f ( xi )
i 1
n
分析： 命题中涉及闭区间上连续函数，但不涉及可导，
t f ( x ) 是一个常数， 考虑利用介值定理.
i 1 i i
n
但命题中缺少 f (x) 在区间端点的函数值的性质，
故考虑先用最值定理, 再用介值定理.
证：因为 f (x) 在 [a, b]上连续，
由零点定理：至少存在一点 (0, a b ) ，
使得 F ( ) 0 ；
由(1)、(2)即知 是方程 x a sin x b 0 ( a , b 0 ) 在 ( 0, a b] 上的正根.
4 3 2 F ( x ) ax bx cx (a b c) x , 例 3 证明：设
f ( ) t i f ( xi )
i 1
n
零点定理：
设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续， 且
f (a ) f (b) 0 ，则至少存在一点 (a , b ) ，使得
f ( ) 0 .
罗尔定理：
设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续，在开区间
(a , b) 内可导， 且 f (a ) f (b ), 则至少存在一点
(a , b ) ， 使得 f ( ) 0 .
由于两个定理中给出的都是函数 f ( x ) 的性质，
欲证明的是在 (a , b) 内方程 f ( x ) 0 或 f ( x ) 0 是否有根 .
于是，至少 一个 (a , b ) ，
F (b) F (a ) F ( ) 使得 ba
即
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba
例 5： （P146 习题 3.1 第 7 题） 设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续， 在 (a, b) 内可导， a b 0 ，证明：在 ( a , b ) 内至少存在一 个 ，使得
、 m，使得对 x[a, b]，都有 m f (x) M ， 所以 M
因此，当 xi [a, b]， ti 0 (i 1, 2, , n) 时，有
m ti m
i 1
n
t
i 1
n
i
f ( x i ) ti M M
i 1
n
由介值定理，至少存在一个 [a , b] ，使得
例 2 证明： 设 F( x) x a sin x b ，
则 F ( x ) 在 [0, a b ] 上连续，
且 F ( 0) F ( a b ) b a[1 sin( a b )] 0 ，
(1)若 F (0) F (a b ) 0 ，
即 sin( a b ) 1 ，则取 a b ， 有 F ( ) 0 ； (2)若 F (0) F (a b ) 0 ，
则令 F ( x ) g ( x ) ，
(即把等式左端的 g ( x ) 看作是某个函数 F ( x ) 的导数).
对 F ( x ) 0 积分或解微分方程(未学积分前只能观察)
得 F ( x ) ， 这个 F ( x ) 就是我们要构造的辅助函数，
然后用罗尔定理证明命题； 这个方法叫原函数法。
例 4：设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 证明：在 (a , b) 内至少存在一个 ，使
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba
------------------------------------------bf ( b ) a f ( a ) [ xf ( x ) ] 【分析】即证 ba
内的一个根.
常数 K 值法： （往往可以用拉氏、柯西中值定理证明的题）
此法适用于结论中的常数为分式且已与 分离命题。
构造辅助函数的步骤：
(1) 令常数部分为 k ;
(2) 对所令的表达式恒等变形， 使等式的一端为
a及 f ( a )
构成的代数式，另一端为 b 及 f ( b ) 构成的代数式；
首先将命题中的 (或 x0 )改写成 x ， 通过移项使
等式的右端为(有时需要先交叉相乘再移项) 0 ,
即变为形式： g ( x ) 0 .
一.若易验证 g( x ) 在区间的两个端点处的函数值异号，
用零点定理证明命题； 则构造辅助函数 F ( x ) g( x ) ，
二.若不易验证 g( x) 在区间的两个端点处的函数值异号，
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba