解析几何常用公式(景斌汇编)(内部资料仅限东方之子学校学生使用)1、倾斜角(0180θ︒≤<︒)2、斜率(刻画直线对于x 轴的倾斜程度) (1)tan (90)k θθ=≠o (2)()121212y y k x x x x -=≠- 【tan θ在(0,)2π、(,)2ππ上单调递增】3、直线的方程:(1)斜截式:y kx b =+(不能表示斜率不存在的直线οx x =) (2)点斜式:00()()y y k x x -=-(不能表示斜率不存在的直线οx x =) (3)两点式:121121x x x x y y y y --=--(不能表示0,x x y y ==o 两种直线)(4)截距式:1=+bya x (不能表示y=kx,0,x x y y ==o 三种直线) (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为零) 41111:0l A x B y C ++= 2222:0l A x B y C ++=平 行12k k =且12b b ≠1122A B A B =12C C ≠ 重 合 12k k =且12b b =1122A B A B =12C C = 垂 直121k k =-12120A A B B +=5、 设1122:,:l y k x b l y k x b =+=+,（1） 到角(0,)π:1l 依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角当k 1,k 2都存在且k 1k 2≠－1时,1l 到2l 的角为θ,则2112tan 1k k k k θ-=+;(2)夹角(0,]2π:1l 与2l 相交构成的四个角中不大于直角的角叫这两条直线所成的角,简称夹角当k 1,k 2都存在且k 1k 2≠－1时,1l 与2l 的夹角为θ,则2112tan 1k k k k θ-=+6、点到直线的距离公式点P ()00,x y 到:0l Ax By C ++=的距离d =、7、平行线间距离公式两平行线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=之间的距离为d =、8、若A ),(),,(2211y x B y x ,P(x,y)P 在直线AB 上,且P 分有向线段AB 所成的比为λ,定比1122x x y y AP x x y y PB λ--===--u u u r u u u r ,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x9、两点间距离:若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地:x //AB 轴, 则=AB 12x x - y //AB 轴, 则=AB 12y y - 10、直线系方程(1)平行直线系0=++C By Ax 与10Ax By C ++= (2)垂直直线系0=++C By Ax 与10Bx Ay C -+=(3)过已知点的直线系111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=(不包括2220A x B y C ++=) 11、线性规划（1） 二元一次不等式表示平面区域如果000Ax By C ++>(A>0)则点00(,)x y 在直线右侧;如果000Ax By C ++<(A>0)则点00(,)x y 在直线左侧;如果000Ax By C ++=(A>0)则点00(,)x y 在直线上(2)线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题,统称为线性规划;满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫可行域 12、圆(一)圆方程常见形式:(1)标准式:(x-a)2+(y-b)2=r 2(R>0),其中(a,b)为圆心,r 为半径;(2)一般式:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,配方得:22()()224D E x y +++=(3)参数式:(x-a)2+(y-b)2=R 2(R>0)的参数式为:cos sin x r ay r b θθ=+⎧⎨=+⎩,θ为参数[0,2)θπ∈圆与二元二次方程一一对应,这些二元二次方程方程特征为: (1)二次项中无xy 交叉项; (2)x 2,y 2项前面系数相等;(3)x,y 的一次项系数D,E 及常数项F 满足D 2+E 2-4F>0(二)直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若22BA C Bb Aa d +++=,d r >⇔相离,d r =⇔相切,d r <⇔相交(三)圆与圆的位置关系圆C 1:212121)()(r b y a x =-+- 圆C 2:222222)()(r b y a x =-+- (1)2121r r C C +>相离 (2)2121r r C C +=外切(3)212121r r C C r r +<<- 相交 (4)2121r r C C -=内切 (5)2121r r C C -< 内含外离 外切相交 内切 内含 13圆锥曲线(一)椭圆与双曲线 1、第一定义椭圆:若F 1 F 2就是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ (a 为常数)则P 点的轨迹就是椭圆(当12122PF PF a F F +==时,则P 点的轨迹就是线段)双曲线:若F 1 F 2就是两定点,21212F F a PF PF <=-(a 为常数),则动点P 的轨迹就是双曲线(当12122PF PF a F F -==时,则P 点的轨迹就是射线)2、第二定义椭圆:若F 1为定点,l 为定直线,动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e(0<e<1),则P点的轨迹就是椭圆双曲线:若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比就是常数e(e>1),则动点P 的轨迹就是双曲线 3标准方程22221(0,0)x y a b a b +=>>中心在原点,焦点在x 轴上22221x y b a +=(0,0)a b >>中心在原点,焦点在y 轴上范围 a x a -≤≤,b y b -≤≤ a y a -≤≤,b x b -≤≤对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称(原点为中心)顶点 四个顶点A 1、A 2、 B 1、B 2焦点 F 1(-c,0),F 2(c,0)F 1(0,-c),F 2(0,c)轴 长轴|A 1A 2|=2a,短轴|B 1B 2|=2b离心率()01ce e a=<<离心率越大,椭圆越扁,离心率越小,椭圆越圆(反记法) 准线x =2a c±2a y c=±通径通径长22b a焦准距2b c4标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>中心在原点,焦点在x 轴上22221y x a b-=(0,0)a b >>中心在原点,焦点在y 轴上范围 x a ≤-或x a ≥y a ≤-或y a ≥ 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称(原点为中心)顶点 A(-a,0) B(a,0) A(0,-a), B(0,a) 焦点 F 1(-c,0),F 2(c,0)F 1(0,-c),F 2(0,c)轴实轴长|A 1A 2|=2a,虚轴长|B 1B 2|=2b,焦点在实轴上5(1) 椭圆:10PF a ex =+或10PF a ey =+(负半轴)20PF a ex =-或20PF a ey =-(正半轴)焦半径范围a c PF a c -≤≤+（2） 双曲线:0PF e x a =+(长)0PF e x a =-(短)焦半径范围PF c a ≥- 6、焦半径之积(1)椭圆: 22221202||||1cos b PF PF a ex θ=-=+(2)双曲线:22221202||||1cos b PF PFe x a θ=-=-7、焦点三角形面积S 12F PF V =21201211||||||||sin tan 222F F y PF PF b θθ==(椭圆)S 12F PF V =21201211||||||||sin cot 222F F y PF PF b θθ==(双曲线)8、弦长公式:12]AB x =12]y = 9、补充知识:1具有共同渐近线的双曲线系若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程:⇒=-02222b y a x x a by ±=若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222by a x(0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上)2等轴双曲线:当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此时双曲线为等轴双曲线,可设为λ=-22y x3、优美椭圆与优美双曲线(1)我们把离心率等于黄金比512的椭圆称为优美椭圆,设()222210x y a b a b+=>>为优美椭圆,F 、A分别为它的左焦点与右顶点,B 就是它的短轴的一个端点,则有:()()2190;2ABF b ac ∠=︒=(2)我们把离心率等于黄金比倒数即512的双曲线称为优美双曲线,设()222210x y a b a b-=>>为优美双曲线,F 、A 分别为它的左焦点与右顶点,B 就是它的虚轴的一个端点,则有:()()2190;2ABF b ac ∠=︒=3、 共轭双曲线:我们把“以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线”定义为原双曲线的共轭双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-= 特征1:具有共同渐近线 特征2:焦距相等 特征3:2212111e e += (二)抛物线(一)定义:到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹就是抛物线即到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比就是常数e(e=1)(二)图形:(三)基本性质:方程:22,(0),y px p p =>为焦准距;焦点: )0,2(p,通径p AB 2=;准线: 2px -=;焦半径:0,2pCF x =+过焦点的弦长12CD x x p =++通径最短注意:抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或P οοοοpx y y x 2),(2=其中 (四)抛物线的重要性质:已知AB 就是抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦,F 为抛物线的焦点,A ),(11y x B ),(22y x(1)4,221221p x x p y y =⋅-=⋅(2)|AB|=θθ(sin 2221pp x x =++为直线AB 与x 轴的夹角) (3)S △AOB=θsin 22p(4)11AF BF +为定值2P(5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 (6)90ADB ∠=o (直径所对的圆周角就是直角) (7)''90A FB ∠=o(8)连接焦点与准线上任意一点的线段被y 轴平分(三角形中位线)。