平面解析几何知识点归纳平面解析几何知识点归纳◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈ 斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x≠的直线的斜率公式为121221x x y y kP P --=3.直线方程的几种形式能力提升斜率应用例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小关系例2.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，试求23++x y 的最大值和最小值的夹角α：)2(πθθα≤=或)2(πθθπα>-=；距离问题1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则)()(121221y y x x P P -+-=2.点到直线距离公式点),(0y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++CBy Ax ，2l ：02=++CBy Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=4.直线系方程:若两条直线1l ：0111=++Cy B x A ，2l ：0222=++Cy B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)对称问题1.中点坐标公式：已知点),(),,(2211y x B y x A ，则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x点),(0y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(0y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。
2.轴对称： 点),(b a P 关于直线)0(0≠=++B c By Ax 的对称点为),('n m P ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅++⋅-=-⨯0221)(a -m b -n C n b B m a A B A ，直线关于直线对称问题可转化 为点关于直线对称问题。
（1）中心对称：①点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点),(b a A 关于),(d c C 的对称点)2,2(b d a c -- ②直线关于点的对称：Ⅰ、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程； Ⅱ、求出一个对称点，在利用21//l l由点斜式得出直线方程；Ⅲ、利用点到直线的距离相等。
求出直线方程。
如：求与已知直线0632:1=-+y x l 关于点)1,1(-P 对称的直线2l 的方程。
①点关于直线对称：Ⅰ、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。
Ⅱ、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。
如：求点)5,3(-A 关于直线0443:=+-y x l 对称的坐标。
②直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称） Ⅰ、若b a ,相交，则a 到l 的角等于b 到l 的角；若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距离相等。
Ⅱ、求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程。
Ⅲ、设),(y x P 为所求直线直线上的任意一点，则P 关于l 的对称点'P 的坐标适合a 的方程。
如：求直线042:=-+y x a 关于0143:=-+y x l 对称的直线b 的方程。
能力提升例1.点)1,2(P 到直线)(03R m y mx ∈=--的最大距离为例2.已知点)1,3(A ，在直线x y =和0=y 上各找一点M 和N ，使AMN∆的周长最短，并求出周长。
线性规划问题：（1）设点),(0y x P 和直线0:=++C By Ax l ，①若点P 在直线l 上，则00=++C By Ax ；②若点P 在直线l的上方，则0)(00>++C By AxB ；③若点P 在直线l 的下方，则0)(00<++C By AxB ；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(0<>++C By Ax ， ①当0>B 时，则0>++C By Ax 表示直线上方的区域；<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；②当0<B 时，则0>++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域；注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线C By Ax ++中，根据0>或0<来表示二元一次不等式表示平面区域。
（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
注意：①当0>B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越大；直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越小； ②当0<B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越小；直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越大； 如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ay x z +=取得最小值的最优解有无数个，则a 为 ；（1）设点),(0y xP 和直线0:=++C By Ax l ，①若点P 在直线l 上，则000=++C By Ax；②若点P 在直线l的上方，则0)(00>++C By AxB ；③若点P 在直线l 的下方，则0)(00<++C By AxB ；（2）二元一次不等式表示平面区域：对于任意的二元一次不等式)0(0<>++C By Ax ， ①当0>B 时，则0>++C By Ax 表示直线上方的区域；<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 下方的区域；②当0<B 时，则0>++C By Ax 表示直线下方的区域；<++C By Ax 表示直线0:=++C By Ax l 上方的区域；注意：通常情况下将原点)0,0(代入直线C By Ax ++中，根据0>或0<来表示二元一次不等式表示平面区域。
（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解),(y x 叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题。
注意：①当0>B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越大；直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越小； ②当0<B 时，将直线0=+By Ax 向上平移，则By Ax z +=的值越来越小；直线0=+By Ax 向下平移，则By Ax z +=的值越来越大； 如：在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函数ay x z +=取得最小值的最优解有无数个，则a 为 ；圆与方程2.1圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-圆心),(b a C ，半径r 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2.2点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：(1)点在圆上 d=r ；(2)点在圆外 d ＞r ；(3)点在圆内 d ＜r ．2.给定点),(0y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔ ②M在圆C上2220)()r b y a x =-+-⇔（③M 在圆C 外222)()(r b y a x >-+-⇔2.3 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D C ，半径xy O A(1B(5C(42422FE D r -+=.当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422>-+AF E D .圆的直径系方程：已知AB 是圆的直径))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A2.4 直线与圆的位置关系： 直线=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，d 是圆心到直线的距离，(22BA C Bb Aa d +++=（1）r d >⇔相离⇔0<∆；(2)r d =⇔相切⇔0=∆； （3）r d <⇔相交⇔0>∆ 2.5 两圆的位置关系设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，dOO =21。
（1）条公切线外离421⇔⇔+>rr d ；（2）条公切线外切321⇔⇔+=rr d ； （3）条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d rr ；（4）条公切线内切121⇔⇔-=rr d ；（5）无公切线内含⇔⇔-<<210rr d ；外离 外切 相交 内切 内含圆的切线方程：1.直线与圆相切：(1)圆心到直线距离等于半径r ；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）2.圆222r y x =+的斜率为k 的切线方程是rk kx y 21+±=过圆22=++++F Ey Dx y x 上一点),(00y x P 的切线方程为：02200=++++++F y y E x x Dy y x x . 一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2.特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为20r y y x x =+.若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出⇒k 切线方程.3.圆的弦长问题：1.半弦2L 、半径r 、弦心距d 构成直角三角形，满足勾股定理：2222d R L -=⎪⎭⎫ ⎝⎛2、弦长公式（设而不求）：]4)[(1)(212212221221x x x x k y y x x AB -++=-+-=）（）（。