椭圆（2）－－直线与椭圆的综合应用考点一 如何处理直线与椭圆的位置关系例1 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b >0)的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，|PF 1|＝43，|PF 2|＝143.(1)求椭圆C 的方程； （2）过点()0,4Q 的直线与椭圆无公共点，求该直线的斜率k 的取值范围； (3)若直线l 过圆x 2＋y 2＋4x －2y ＝0的圆心M 交椭圆于A 、B 两点， 且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程．【解析】 (1)因为点P 在椭圆C 上， 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝|PF 2|2－|PF 1|2＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1.（2）过点()0,4Q 的直线方程为4y kx =+，代入椭圆22194x y +=，整理得，()2294721080k x kx +++=。

由于该直线与椭圆无公共点，所以，()()22724108940k k ∆=-⨯⨯+<，解之得，k <<所以，直线的斜率k 的取值范围是k << (3)解法一：设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)．已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5，所以圆心M 的坐标为(－2,1)，从而可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入椭圆C 的方程得(4＋9k 2)x 2＋(36k 2＋18k )x ＋36k 2＋36k －27＝0.因为A ，B 关于点M 对称，所以x 1＋x 22＝－18k 2＋9k4＋9k 2＝－2，解得k ＝89，此时，0∆>。

所以直线l 的方程为y ＝89(x ＋2)＋1，即8x －9y ＋25＝0。

解法二：已知圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 所以圆心M 的坐标为(－2,1)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由题意x 1≠x 2 且x 219＋y 214＝1① x 229＋y 224＝1② ①－②得()()()()12121212094x x x x y y y y -+-++=.③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2, 代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝89，即k ＝89。

由于圆心M (－2,1)在椭圆内，所以k ＝89符合题意。

所以直线l 的方程为y －1＝89(x ＋2)，即8x －9y ＋25＝0.总结反思：①处理直线与椭圆位置关系方法通常采用代数法，利用直线方程与椭圆方程联立得到的一元二次方程的判别式确定位置关系；②处理直线与椭圆相交弦的中点问题通常有两种方法：韦达定理及点差法。

其中点差法通常解决与中点弦（弦中点）有关的问题。

③在利用韦达定理处理与直线、椭圆相交的有关问题时，需保证判别式为正数；在利用点差法解决与中点弦（弦中点）有关的问题时可以通过弦中点是否在椭圆内部判定所求结果是否满足题意。

变式1(2011·陕西高考)设椭圆C ∶x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4，由e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)方法一：过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x －＝x 1＋x 22＝32，y －＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为(32，－65)．方法二：设过点(3,0)且斜率为45的直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且线段AB 的中点为()00,M x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩。

由点A 、B 在椭圆上可得，221122221251612516x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，()()()()1212121202516x x x x y y y y +-+-+=，所以，()()0120122202516x x x y y y --+=，从而0121201625x y y x x y -=--。

另一方面，121245y y x x -=-，所以，00164255x y -=，即0045y x =-，① 又因为点()00,M x y 在过点()3,0，斜率为45的直线：()435y x =-上， 故()00435y x =-，② 联立①②，可解得，003265x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即36,25M ⎛⎫- ⎪⎝⎭。

所以，过点()3,0，斜率为45的直线被椭圆C 截得线段的中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭。

考点二 如何求解与椭圆相关的最值问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，右焦点F 在x 轴上，椭圆与y 轴交于A 、B 两点，直线l ：2a x c =与x 轴交于点T ，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上一点。

（1）求证：A 、C 、T 三点共线；（2）如果3BF FC =，四边形APCB的面积最大值为23，求此椭圆的方程和点P 的坐标。

解：（1）设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，① 则()0,A b ，()0,B b -，2,0a T c ⎛⎫⎪⎝⎭。

直线AT 的方程为：21x y a b c+=-，② 直线BF 的方程为：1x y c b+=-，③ 联立②③，可得点C 的坐标为2322222,a c b a c a c ⎛⎫⎪++⎝⎭，代入①得，()()222322222222222222241a c b a c a c a c a c a b a c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+-++⎝⎭⎝⎭+==+， 满足①式，则点C 在椭圆上，A 、C 、T 三点共线。

（2）据题意可得，(),0F c ，(),BF c b =，2332222,a c c b FC a c a c ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭。

因为3BF FC =，所以232232233a c c c a c b b a c ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，化简得，222a c =，22b c =。

则()0,A c ，()0,B c -，4,33c c C ⎛⎫⎪⎝⎭，椭圆方程为222212x y c c +=，即22222x y c +=。

故3AC c =，21442233ABC c c S c ∆=⋅⋅=。

设点()00,P x y ，则2220022x y c +=。

直线AC 的方程为：220x y c +-=，所以，点P 到直线AC的距离d =，结合点P 在直线AC的上方，可知d =，从而0022112233APC x y c S d AC c ∆+-=⋅==⋅。

下面只需求出002x y +的最大值。

思考：如何求二元函数的最值？方法一：（三角代换）设0cos x θ=⋅，0sin y c θ=⋅。

所以002cos 2sin x y c θθθθ⎫+=⋅+⋅=⋅+⎪⎪⎝⎭，令sin 3ϕ=，cos 3ϕ=，ϕ为锐角。

故()()002sin cos cos sin sin x y ϕθϕθϕθ+⋅+=⋅+。

当2πϕθ+=，cos cos sin 2πθϕϕ⎛⎫=-==⎪⎝⎭sin sin cos 2πθϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭时，002x y +。

即当003x y c ==时，002x y +。

显然，此时点P 的坐标为,33c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，在椭圆弧AC 上，符合题意。

则()2max 2233APC c S c c ∆-=⋅=。

所以，四边形APCB 22243c +==，故21c =，2222a c ==，221b c ==。

此时椭圆方程为2212x y +=，点P 的坐标为⎝⎭。

方法二：（基本不等式）因为()2220000002422x y x y x y +=++⋅，结合不等式：2200002x y x y ≤+，可知()()()2222222222000000000000242242326x y x y x y x y x y x y c +=++⋅≤+++=+=，故002x y +≤，当且仅当002220022x y x y c=⎧⎪⎨+=⎪⎩，即00x y ==时，002x y +。

则()2max APC S c ∆==。

所以，四边形APCB的面积最大值为22224223333c c c +==，故21c =，2222a c ==，221b c ==。

此时椭圆方程为2212x y +=，点P的坐标为33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭。

方法三：（线性目标函数） 令002x y t +=，即001122y x t =-+，代入椭圆2220022x y c +=， 可得 ()222002220t y y c -+-=，即222006420y ty t c -+-=。

据题意可得，()()22242420t t c∆=---≥，解之得t ≤。

当t =时，代入原方程解得，003x y ==。

则()2max 2233APC c S c c ∆-=⋅=。

所以，四边形APCB的面积最大值为22224223333c c c +==，故21c =，2222a c ==，221b c ==。

此时椭圆方程为2212x y +=，点P的坐标为⎝⎭。

反思总结：解决二元函数(),z f x y =最值的常用方法： ① 将二元函数化归为一元函数()(),z f x y g t ==； ② 利用基本不等式；③ 利用(),z f x y =的几何意义，如距离，斜率，线性目标函数等。

变式2 如图，设A ，B 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右顶点和上顶点，过原点O 作直线交线段AB 于点M （异于点A ，B ），交椭圆于C ，D 两点（点C 在第一象限内），ABC ∆和ABD ∆的面积分别为1S 与2S ．当点M 在线段AB 上运动时，求12S S 的最大值．解：（1）由题意可知， (),0A a ，()0,B b ，则点M 的坐标为,22a b ⎛⎫⎪⎝⎭。