抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念:
抽象函数是指未给出具体函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足条件的函数,
如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等。
它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,
由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，
“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、 图象关于直线 对称
推论1： 的图象关于直线 对称
推论2、 的图象关于直线 对称
推论3、 的图象关于直线 对称
2、 的图象关于点 对称
推论1、 的图象关于点 对称
推论2、 的图象关于点 对称
推论3、 的图象关于点 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数 与 图象关于Y轴对称
2、奇函数 与 图象关于原点对称函数
3、函数 与 图象关于X轴对称
4、互为反函数 与函数 图象关于直线 对称
5、函数 与 图象关于直线 对称
推论1:函数 与 图象关于直线 对称
推论2:函数 与 图象关于直线 对称
推论3:函数 与 图象关于直线 对称
（三）抽象函数的对称性与周期性
答案： 。
2、比较函数值大小
例3.若 是以2为周期的偶函数，当 时 试比较 、 、 的大小.
解：∵ 是以2为周期的偶函数，
又∵ 在 上是增函数且 ，
∴
3、求函数解析式
例4.（1989年高考题）
设 是定义在区间 上且以2为周期的函数，对于 ，用 表示区间 已知当 时， 求 在 上的解析式.
解：设
时，有
做抽象函数题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
若对于函数 定义域内的任意 都存在非零常数 使得 恒成立，
则称函数 具有周期性， 叫做 的一个周期，且 也是 的周期。
所有周期中的最小正数叫 的最小正周期。
分段函数的周期：
设 是周期函数，在任意一个周期内的图像为C: 。
推论1、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称
推论2、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
设a是非零常数，
若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，
①f(x＋a)＝f(x－a)；②f(x＋a)＝－f(x)；③f(x＋a)＝1/f(x)；④f(x＋a)＝－1/f(x)。
是以2 为周期的函数， .
例5．设 是定义在 上以2为周期的周期函数且 是偶函数，在区间 上， 。求 时， 的解析式.
解：当 ，即 ，
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1若对于定义域内任一变量x均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。
定义2若对于定义域内任一变量x均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。
则函数y＝f(x)是周期函数且2|a|是它的一个周期。
5、函数的对称性与周期性
性质5若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数T＝2|a－b|
性质6若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数且T＝2|a－b|
性质7若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
把 沿 轴平移 个单位，即按向量 平移即得 在其他周期的图像： 。
2、奇偶函数：
设 或
；
。
分段函数的奇偶性（略）
3、函数的对称性：
（1）中心对称（即：点对称）
（2）轴对称（对称轴方程为 ）
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数 图象本身的对称性（自身对称）
若 ，则 具有周期性；
若 ，则 具有对称性：
1、抽象函数的对称性
性质1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
①f(a＋x)＝f(a－x)；②f(2a－x)＝f(x)；③f(2a＋x)＝f(－x)。
性质2若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
①f(a＋x)＝－f(a－x)；②f(2a－x)＝－f(x)；③f(2a＋x)＝－f(－x)
6、函数对称性的应用
（1）若 ,
即
（2）例题
1、 ;
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： 。
3、若 的图像关于直线 对称。
设
则 .
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、 ( ) 的周期为 ， ( )也是函数的周期
2、 的周期为
3、 的周期为
4、 的周期为
5、 的周期为
6、 的周期为
7、 的周期为
8、 的周期为
9、 的周期为
10、若
11、 有两条对称轴 和 周期
推论：偶函数 满足 周期
12、 有称轴 和一个对称中心 的
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，
说明：
①复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，
复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
②两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；
y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)
它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.
下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1.（1996年高考题）
设 是 上的奇函数， 当 时， ，则 等于（）
（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.
例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）
若 是定义在实数集上的函数且 ， 求 的值.
③“y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数”等价于：
“单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）”
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称
性质4复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称