授课教案辅导日期：2016年 月 日 辅导时间： 学员：七、周期性与对称性问题（由恒等式．．．简单判断：同号看周期，异号看对称）结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a ，x=b 对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(2) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2|a-b|(3) 函数图象关于直线x=a ，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且T=4|a-b|（4） 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(b+x)与y=f(a-x)关于2ba x -=对称；y=f(b+x)与y=-f(a-x)关于点)0,2(ba -对称 （可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x 为对称轴）★★★★例1.已知函数)(x f y =满足200)()(=-+x f x f ，求)2002()(11x f x f -+--的值。

解：已知式即在对称关系式b x a f x a f 2)()(=-++中取20020==b a ，，所以函数)(x f y =的图象关于点（0，2002）对称。

根据原函数与其反函数的关系，知函数)(1x f y -=的图象关于点（2002，0）对称。

所以0)1001()1001(11=-++--x f x f将上式中的x 用1001-x 代换，得0)2002()(11=-+--x f x f评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++，则函数)(x f y =的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形。

例17：①已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2) = – f (x )，则f (6)的值为（ B ）A. –1B. 0C. 1D. 2解： 因为f (x)是定义在R 上的奇函数，所以f (0) = 0，又T=4，所以f (6) = f (2) = – f (0) = 0。

②函数f(x)对于任意的实数x 都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于 对称。

（x=1/2） 练习：（2010重庆）已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2010f =_____________.解析：取x=1 y=0得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ，寻得周期为6法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故()2010f =f(0)=21 例18. 已知函数y=f(x)满足2002)()(=-+x f x f ，求()()x f x f -+--200211的值。

解：由已知式知函数的图象关于点（0，1001）对称。

据原函数与其反函数的关系，知函数y=f -1(x) 的图象关于点（1001，0）对称,所以()()010********=-++--x f x f,即()()x f x f -+--200211=0例19. 奇函数f (x )定义在R 上，且对常数T > 0，恒有f (x + T ) = f (x )，则在区间［0，2T ］上，方程f (x ) = 0根的个数最小值为（ ）CA. 3个B.4个C.5个D.6个解：∵f (0) = 0→x 1= 0， 又f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0→ x 2 = T ，x 3 = 2T .又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-22T x f T x f 令x = 0得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-222T f T f T f ,∴⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛232T f T f =0.(本题易错选为A) 例20．① f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。

求a 的值。

解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称 又∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称 ∴T=8∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0) 又∵f(x) =-f(6-x)∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6②设y=f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数，函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称，且当x [2,3]时，g(x)=2a(x-2)-4(x-2)3(a 为常数且a R)（1）求f(x);（2）是否存在a [2,6]或a (6,+∞),使函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解：（1）设点M(x,f(x))为函数y=f(x)图象上任意一点，则点M 关于直线x=1的对称点为N(2-x,f(x)).∵y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于直线x=1对称. ∴点N(2-x,f(x))在y=g(x)图象上.由此得f(x)=g(2-x)（利用结论4的命题易得这一结果：y=g(x)与y=g(2-x)的图象关于直线x=1对称）设x [-1,0]，则2-x [2,3].此时f(x)=g(2-x)=-2ax+4x 3又f(x)为偶函数⇔f(-x)=f(x),x ∈ [-1,1]. ∴当x ∈ [0,1]时，f(x)=2ax-4 x 3（2）注意到f(x)为偶函数，只须研究f(x)在[0,1]上的最大值.(ⅰ)当a (2,6]时，由0 x 1得a-2x 2＞0，f(x)=2x(a-2 x 2)= ≤ =（当且仅当4 =a －2,即x=[0,1]时等号成立）. 由题意知,f(x)的最大值为12,令 =12得=486> ,∴a>6,这与a (2,6]矛盾,故此时满足条件的a 不存在.(ⅱ)当a=2且0≤x≤1时,f(x)=4x(1－ )同理可证 f(x)= (当且仅当2 =1- ,即x= 时等号成立),也与已知矛盾.(ⅲ)当a>6时,设0 ,则f()-f( )=2a(- )-4(- )=2(- )[a-2(++ )]，由题设0< ++<3,a>6 ∴a-2(++)>0 又 - <0∴f( )-f()<0即f( )<f(), ∴f(x)在[0,1]上为增函数. ∴此时=f(1)=2a-4.令2a-4=12,解得a=8 (6,+∞),适合题意.因此,综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)知,存在a=8 (6,+∞),使得函数f(x)的图象的最高点位于直线y=12上.练习1、函数)1(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图象关于 x=1 对称。

2、函数)(x f y =满足)(1)3(x f x f -=+，且1)3(=f ，则=)2010(f -1 。

3、函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且11()()22f x f x +=-,则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= 解析：法一：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，T=2,可借助图象解答，得结果为0. 小结：此方法为数形结合法法二：因f(x)为奇函数且关于12x =对称，类比()sin f x x =联想函数()sin f x x π= ∴(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++=0, 小结：此方法为抽象函数具体化法4、已知函数(21)y f x =-是定义在R 上的奇函数，函数()y g x =是()y f x =的反函数，若120x x +=则12()()g x g x +=（ D ）A ）2B ）0C ）1D ）-2解析：法一：(函数具体化)设()1f x x =+符合题意，则()1g x x =-则121212()()(1)(1)()22g x g x x x x x +=-+-=+-=-，法二：y=f(2x-1)是R 上的奇函数→f(-2x-1)=-f(2x-1)，即f(-2x-1)+f(2x-1)=0，由反函数的关系就可以取x 1= f(-2x-1),x 2= f(2x-1),所以g(x 1)+g(x 2)=-2x-1+(2x-1)=-2.5.设f (x )是R 的奇函数,f (x+2)= — f (x ),当0≤x ≤1,时,f (x )=x ,则f(7.5)= - 0.56.定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=3,则f -1(x)+f -1(3-x)= .07、 f （x ）是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f （2）=0，则方程f （x ）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）DA.4B.5C.6D.78、设函数f(x)的定义域为[1,3],且函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,已知当x [2,3]时f(x)=2x,求当x [1,2]时,f(x)的解析式.解:由已知得 f(x)=-f(4-x)① 又当x [1,2]时,4-x [2,3],∴f(4-x)=(4-x) -2(4-x) ②∴由①②得f(x)=- (x- 4) +2(4-x) ∴当x [1,2]时,f(x)=-x +6x-8 9、（09山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=-8八、综合问题例21. 定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有，且当x>0时，0<f(x)<1。

（1）判断f(x)的单调性； （2）设，，若 φ=B A ，试确定a 的取值范围。

解：（1）在中，令，得，因为，所以。

在中，令,因为当时，所以当时,而,所以又当x=0时，，所以，综上可知，对于任意，均有。

设，则所以.所以在R 上为减函数。

（2）由于函数y=f(x)在R 上为减函数，所以,即有又，根据函数的单调性，有,由，所以直线与圆面无公共点。

因此有，解得。

评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题，二是f(x)>0的结论。