极值点偏移定义及判定定理
所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。

若函数在处取得极值，且函数与直线()f x 0x x =()y f x =y b =交于,两点，则的中点为，而往往.如下图1(,)A x b 2(,)B x b AB 12(
,)2x x M b +1202
x x x +≠所示.
极值点没有偏移
一、极值点偏移判定方法
1、极值点偏移的定义
对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为)(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且，（1）若
，则称函数在区间上极21x x 、b x x a <<<210212x x x ≠+)(x f y =),(21x x 值点偏移；（2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简0x 0212
x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右0x 0212
x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 偏，简称极值点右偏。

0x 2、极值点偏移的判定定理
判定定理： 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点
)(x f y =),(b a ，方程的解分别为，且，（1）若，则0x 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<210)2('21>+x x f ，即函数在区间上极大（小）值点右（左）偏；（2）0021)(2
x x x ><+)(x f y =),(21x x 0x 若，则，即函数在区间上极大（小）值点0)2('21<+x x f 021)(2
x x x <>+)(x f y =),(21x x 左（右）偏。

0x
二、极值点偏移问题的一般题设形式：
1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；
2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；
3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2
210x x x +=
，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f
三、运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；
（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；
（3）确定函数)(x F 的单调性；
（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系. 口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.
2、抽化模型
答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.
（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；
假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.
（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；
注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.
（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；
假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.
（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；
接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.
（5）若要证明0)2('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出2
21x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证. 此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故
0212x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单调递减，故02
(
'21<+x x f . 【说明】
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；
（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或02
(
'21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.。