知识点:一、有理数:()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注:⑴正数和零统称为非负数;⑵负数和零统称为非正数; ⑶正整数和零统称为非负整数; ⑷负整数和零统称为非正整数.例题:【例1】 ⑴如果收入2000元,可以记作2000+元,那么支出5000元,记为 .⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米,则海拔高度为600-米表示 .⑶某地区5月平均温度为20C ︒,记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+,0,1.4+,3-, 4.7-,那么这5项记录表示的实际温度是 .⑷向南走200-米,表示 .【例2】 ⑴在下列各数:(2)--,2(2)--,2--,2(2)-,2(2)--中,负数的个数为 个.⑵①10a -;②21a --;③a -;④2(1)a -+一定是负数的是 (填序号).练习题:1、下列说法正确的是( )A .a -一定是负数B .一个数不是正数就是负数C .0-是负数D .在正数前面加“-”号,就成了负数2、下列说法正确的是( )A、一个数不是正数就是负数B、整数又叫自然数C、正整数又叫自然数D、整数与分数统称为有理数3、下列说法正确的是()A、0是正整数B、0是正数C、0是整数D、0既不是奇数又不是偶数4、下列说法正确的是()A.a 表示负有理数B.一个数的绝对值一定不是负数C.两个数的和一定大于每个加数D.绝对值相等的两个有理数相等二、数轴:规定了原点、正方向和单位长度的直线.⑴原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素,三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念,前者指所取度量单位的长度,后者指所取度量单位的名称,即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段,这条线段可长可短,按实际情况来规定,同一数轴上的单位长度一旦确定,则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线;②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点:③确定向右的方向为正方向,用箭头表示;④选取适当的长度作单位长度,用细短线画出,并对应标注各数,同时要注意同一数轴的单位长度要一致.数轴画法的常见错误举例:M有理数与数轴的关系:一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上,右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数. 注意:数轴上的点不都代表有理数,如π. 例题:【例3】如右图所示,数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n , 那么以下结论正确的是( )A .0m <,0n <,m n >B .0m <,0n >,m n >C .0m >,0n >,m n <D .0m <,0n >,m n < 【例4】数a b c d ,,,所对应的点A B C D ,,,在数轴上的位置如图所示,那么a c +与b d +的大小关系为( )A.a c b d +<+B.a c b d +=+C.a c b d +>+D.不确定的【例5】在数轴上任取一条长度为119999的线段,则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为练习题:1、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A B C D ,,,对应的数分别为整数a b c d ,,,,并且29b a -=,那么数轴的原点对应点为( )A .A 点B .B 点C .C 点D .D 点2、数轴上有一点到原点的距离是5.5,那么这个点表示的数_________3、已知数轴上有A B ,两点,A B ,之间的距离为1,点A 与原点O 的距离为3,那么点B 所对应的数为4、轴上表示整数的点称为整点。
某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点的个数是( ) A. 2002或2003 B. 2003或2004 C. 2004或2005 D. 2005或2006三、相反数:只有符号不同的两个数互称为相反数.特别地,0的相反数是0.相反数的性质:⑴代数意义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,特别地,0的相反数是0.相反数必须成对出现,不能单独存在.例如5+和5-互为相反数,或者说5+是5-的相反数,5-是5+的相反数,而单独的一个数不能说是相反数.另外,定义中的“只有”指除符号以外,两个数完全相同,注意应与“只要符号不同”区分开.例如3+与3-互为相反数,而3+与2-虽然符号不同,但它们不是相反数.⑵几何意义:一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧,并且到原点的距离相等.这两点是关于原点对称的.⑶求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“ - ”号即可.一般地,数a的相反数是a-;这里以a表示任意一个数,可以为正数、0、负数,也可以是任意一个代数式.注意a-不一定是负数.当0a<时,0a->.a-=;当0a-<;当0a>时,0a=时,0⑷互为相反数的两个数的和为零,即若a与b互为相反数,则0a b+=,反之,若0a b+=,则a与b互为相反数.⑸多重符号的化简:一个正数前面不管有多少个“+”号,都可以全部去掉;一个正数前面有偶数个“-”号,也可以把“-”号全部去掉;一个正数前面有奇数个“-”号,则化简后只保留一个“-”号,既“奇负偶正”(其中“奇偶”是指正数前面的“-”号的个数的奇偶数,“负正”是指化简的最后结果的符号).例题:【例6】下面各量具有相反意义的是( )A .向北走3千米,向东走3千米B .七年级⑴班男生有25人,女生有15人C .上午气温零上30C ︒,下午气温零上8C ︒D .上升200米,下降15米 【例7】3的相反数是A . 3B . -3C . ±3D .13【例8】如果0a b +=,那么a ,b 两个实数一定是( )A .都等于0B .一正一负C .互为相反数D .互为倒【例9】a 、b 、c 、m 都是有理数,且a+2b+3c=m ,a+b+2c=m ,那么b 与c ( ). A .互为相反数 B .互为倒数 C .互为负倒数 D .相等 【例10】如果0a <,化简下列各数的符号,并说出是正数还是负数⑴()a -+;⑵()a --;⑶[]()a -+-;⑷[]()a ---;⑸(){}a -+--⎡⎤⎣⎦练习题:1、2010的相反数是( ) A. 2010 B .20101C .2010-D .20101-2、m -的相反数是 ,1m -+的相反数是 ,m n a b +-+的相反数是 .3、若0m n +=,0n p +=,且0m q -=,则( ).A .p 与q 相等B .m 与p 互为相反数C . m 与n 相等D .n 与q 相等 4、下列说法错误的是( )A .(3)+-与(3)--互为相反数B .(3)+-与(3)++互为相反数C .(3)+-与(3)-+互为相反数D .3-与(3)--互为相反数5、a 和b 之和的2003次方等于1-,a 与b 的相反数之和的2003次方等于1,则20042004a b +的值为多少?四、绝对值绝对值的几何意义:一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.注意:①取绝对值也是一种运算,运算符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.③绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5-符号是负号,绝对值是5.求字母a 的绝对值:①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ ②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小. 绝对值非负性:如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.例如:若0a b c ++=,则0a =,0b =,0c =绝对值的其它重要性质:(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即a a ≥,且a a ≥-; (2)若a b =,则a b =或a b =-;(3)ab a b =⋅;aa b b=(0)b ≠;(4)222||||a a a ==;(5)a b a b a b -≤+≤+,对于a b a b +≤+,等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时,等号成立;对于a b a b -≤+,等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时,等号成立.例题:一:绝对值代数意义及化简【例1】列各组判断中,正确的是 ( )A .若a b =,则一定有a b =B .若a b >,则一定有a b > C. 若a b >,则一定有a b >D .若a b =,则一定有()22a b =-【例2】如果有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示,求11a b b a c c +------的值.【例3】设,,a b c 为非零实数,且0a a +=,ab ab =,0c c -=.化简b a bc b a c -+--+-.【例4】已知1999x =,则2245942237x x x x x -+-++++= .【例5】如果010m <<并且10m x ≤≤,化简1010x m x x m -+-+--.【例6】若0x <,化简23x x x x---.练习题:1、如果2a >2b ,则 ( ) A .a b > B .a >b C .a b < D a <b2、对于1m -,下列结论正确的是 ( )A .1||m m -≥B .1||m m -≤C .1||1m m --≥D .1||1m m --≤3、数,a b 在数轴上对应的点如右图所示,试化简a b b a b a a ++-+--4、若a b <-且0ab>,化简a b a b ab -+++5、若1998m =-,则22119992299920m m m m +--+++= .6、已知a a =-,0b <,化简22442(2)24323a b a b a b b a +--+++--二.分类讨论-—零点分段法零点分段讨论的一般步骤:①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号. 【例7】求12m m m +-+-的值.练习题:1、化简代数式24x x ++-2、化简:121x x --++.三:关于a a的探讨应用【例8】已知a 是非零有理数,求2323a a a a a a++的值.【例9】已知0abc ≠,求ab ac bcab ac bc++的值.【例10】a ,b ,c 为非零有理数,且0a b c ++=,则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少?练习题:1、若01a <<,21b -<<-,则1212a b a ba b a b-++-+-++的值是( ) A .0 B .1-C .3-D .4-2、如果0a b c +->,0a b c -+>,0a b c -++>,求200220032004()()()a b ca b c-+的值.3、如果20a b +=,求12a ab b-+-的值.四、绝对值的非负性绝对值非负性:如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.【例11】若42a b -=-+,则_______a b +=.练习题:1、若7322102m n p ++-+-=,则23_______p n m +=+. 2、设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+;②|3|0a b +-=.那么ab = 3、已知2()55a b b b +++=+,且210a b --=,那么ab =_______ 五、绝对值的几何意义a 的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离.a b -的几何意义:在数轴上,表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离.重点:奇数个绝对值相加,数按照从小到大排列,x 取中间数,得最小值;偶数个绝对值相加,数按照从小到大排列,x 取中间两个数及两数之间的数得最小值。