《正弦函数的图像与性质》
教学目标:1、理解正弦函数的周期性;
2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图;
3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质;
4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间;
教学重点:1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像;
2、利用函数图像观察正弦函数的性质;
3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想
教学难点:正弦函数性质的理解和应用 教学过程: Ⅰ 知识回顾
终边相同角的诱导公式:
)(sin )2sin(Z ∈=+k k απα
所以正弦函数是周期函数,即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期,其中π2是它的最小正周期,也直接叫周期,故正弦函数的周期为π2
Ⅱ 新知识
1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象
x y sin =,[]π2,0∈x
(1)、列表
(2)、描点
(3)、连线
因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…,
[][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ,…与x y sin =,[]π2,0∈x 的图像相
同
2、正弦函数的奇偶性
由诱导公式x x sin )sin(-=-,R x ∈得: ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=-
所以,正弦函数为奇函数(观察上图,图像关于原点对称) 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得: 正弦函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-
ππ
ππ
k k 22,
22
是增函数,在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1,最小值为-1,所以值域为[]1,1-
Ⅲ 知识巩固
例1 作下列函数的简图 (1)
x y sin =,[]π2,0∈x (2)x y sin 1+=,[]π2,0∈x
解:(1)①列表
②描点
③连线
(2)①列表
②描点 ③连线
例2 求下列函数的单调区间
(1))sin(x y -= (2))4
sin(π
-=x y
解:(1)因
x x y sin )sin(-=-=
所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-
ππ
ππ
k k 22,
22
是减函数,在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππk k 223,22是增函数 (2)由题知:ππ
π
ππ
k x k 22
4
22
+≤
-
≤+-
ππππ
k x k 24
3
24
+≤
≤+-
⇒ πππ
ππ
k x k 2234
22
+≤
-
≤+ππππk x k 24
7243+≤≤+⇒
所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-
ππππ
k k 243,24是增函数,在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππk k 247,243是减函数
求函数)4
sin(π
+=x y 的单调性
解:由题知:
ππ
π
ππ
k x k 22
4
22
+≤
+≤+-
ππ
ππk x k 24
243+≤≤+-
⇒ πππ
ππ
k x k 2234
22
+≤
+
≤+ππππk x k 24
5
24+≤≤+⇒ 所以函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-
ππππk k 24,243是增函数,在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++ππππk k 245,24是减函数
Ⅳ 小结
用“五点法”作正弦函数的图像,利用正弦函数的简图可以观察到正弦函数的一些基本性质,如奇
偶性、单调性、周期性等
正弦函数的图象与性质(二)
目标:
1、理解振幅的定义;理解振幅变换和周期变换的规律;
2、会用“五点法”画y =A sin(ωx +ϕ)的图象;会用图象变换的方法画y =A sin(ωx +ϕ)的图象; 重点:掌握函数y =A sin(ωx +ϕ)图象的作法和性质 一、基础梳理:
1、形如sin()y A x ωϕ=+的函数,通常叫做正弦型函数,其周期T=__________,频率f=_________,初相为________,值域为________,_________也称为振幅,振幅反映了sin()y A x ωϕ=+的波动幅度的大小。
2、正弦型函数图象的变换方式
(1)振幅变换:当A 发生变化时称为振幅变换,它改变的是图象上各点的____________. (2)周期变换:当ω发生变化时称为周期变换,它改变的是图象上各点的____________. (3)相位变换:当ϕ发生变化时称为相位变换,它改变的是这个图象左右的位置。
(4)上下平移变换:对于函数y=sinx+b 的图象,可以看做是把y=sinx 的图象上所有的点_____(当b>0时)或_______(当b<0时)平行移动b 个单位而得到,y=sinx+b 的值域是_______________.
3、正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的性质:定义域__________,值域___________,周期_______,单调
增区间由_________x ωϕ≤+≤_________求得,单调减区间由_________x ωϕ≤+≤_________求得。
练习:
1、函数
)的最小正周期是( ) (A )
2
π (B )π
(C )2π
(D )3π
2、将函数1
2sin
2
y x =的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的一半,得到新的函数图象,那么这个新函数的解析式是( ) (A )1sin
4y x =(B )4sin y x =(C )sin y x =(D )12sin 2
y x = 3、sin()y A x ωϕ=+(A>0, ω>0)的最大值是3,最小正周期是27π,初相是6
π
,则这个函数的解析式为________________________.
三、典例剖析:
例1画出函数y=2sinx x ∈R ;y=2
1
sinx x ∈R 的图象
例2 画出函数y=sin2x x ∈R ;y=sin 2
1
x x ∈R 的图象
例3 画出函数y =sin(x +3π),x ∈R ;y =sin(x -4
π
),x ∈R 的简图
例4 画出函数y =3sin(2x +3
π
),x ∈R 的简图
练习
1.如图b 是函数y =A sin(ωx +φ)+2的图象的一部分, 它的振幅、周期、初相各是( )
A 3,34π,-6
π B ,34π,-43π
C 1,
32π,-43πD 1,34π,-6
π
2.如图c 是函数y =A sin (ωx +φ)的图象的一段,它的解析
式为( )
图c
A )32sin(32π+=
x y B )4
2sin(32π+=x y C )3sin(32π-=
x y D )3
22sin(32π+=x y 3.如图e ,是f (x )=A sin (ωx +φ),A >0,|φ|<
2
π
的
一段图象,则f (x )的表达式为
4.如图f 所示的曲线是y =A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的一部分,求这个函数的解析式
当x =
3
5π5.函数y =A sin (ωx +φ)+k(A >0,ω>0)在同一周期内,
时,y 有最大值为
37π,当x =3
11π时,y 有最小值 -
3
2
,求此函数的解析式 1.如图b 是函数y =A sin(ωx +φ)+2的图象的一部分, 它的振幅、周期、初相各是( )
A 3,
34π,-6
π
B ,34π,-43π
C 1,
32π,-43πD 1,34π,-6
π
2.如图c 是函数y =A sin (ωx +φ)的图象的一段,它的解
析
式为( )
A )32sin(32π+=
x y B )4
2sin(32π+=x y C )3sin(32π-=
x y D )3
22sin(32π+=x y 3.如图e ,是f (x )=A sin (ωx +φ),A >0,|φ|<
2
π
的
一段图象,则f (x )的表达式为
4.如图f 所示的曲线是y =A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的一部分,求这个函数的解析式5.函数y =A sin (ωx +φ)+k(A >0,ω>0)在同一周期
内,
当x =
35π时,y 有最大值为37π,当x =311π时,y 有最小值 -3
2
,求此函数的解析式
图e
图f
图c
图e
图f。