基础巩固篇第一讲平行线及其判定思维导图重难点分析重点分析：1.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示.2.“三线八角”：两条直线被第三条直线所截，构成八个角，称为“三线八角”，这八个角中，同位角有四对，内错角有两对，同旁内角有两对.3.平行线的判定方法：（1）根据定义判定；（2）三个判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（3）平行的传递性；（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.难点分析：1.平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也不一定平行.2.过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，这一性质指出了过直线外一点作这条直线的平行线的“存在性”和“唯一性”，要注意“直线外一点”这一条件.3.平行线的判定定理是通过角的关系说明直线的位置关系，实现了几何条件之间的转化，应用定理时要注意正确判断角的位置特征.例题精析例1、在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）.A.1个B.2个C.3个D.4个思路点拨：根据直线的性质公理、相交线的定义、垂线的性质、平行公理对各小题分析判断后即可得解.解题过程：①过两点有且只有一条直线，正确；②两条不相同的直线若相交则有且只有一个公共点，若平行则没有公共点，故错误；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；综上所述，正确的有①③④共3个.故选C.方法归纳：本题考查了平行公理、直线的性质、垂线的性质以及相交线的定义，属于基础概念题，熟记概念是解题的关键.易错误区：两条不相同的直线除了平行外，如果不在同一平面内，也可能没有公共点.例2、如图，标有角号的7个角中共有对内错角，对同位角，对同旁内角.思路点拨：根据内错角、同位角及同旁内角的定义判断即可求得本题.解题过程：共有4对内错角：分别是∠1和∠4，∠2和∠5，∠6和∠1，∠5和∠7；2对同位角：分别是∠7和∠1，∠5和∠6；4对同旁内角：分别是∠1和∠5，∠3和∠4，∠3和∠2，∠4和∠2.方法归纳：三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由这两个角在图形中的相对位置决定.在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线.易错误区：同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形.图形较为复杂，要注意从复杂的图形中分解出基本图形.例3、（1）如图1，AB，CD，EF是三条公路，且AB⊥EF，CD⊥EF.试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，若小路OM平分∠EOB，通往加油站N的岔道O′N平分∠CO′F，试判断OM与O′N的位置关系.思路点拨：（1）根据在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可证得AB∥CD；（2）可通过构建直线OM与O′N的同位角来得出OM∥O′N的结论.解题过程：（1）∵AB⊥EF，CD⊥EF，∴AB∥CD（在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行）.（2）如图，延长NO′与AB交于点P.∵OM平分∠EOB，O′N平分∠CO′F，∴∠EOM=∠FO′N=45°.∵∠FO′N=∠EO′P，∴∠EOM=∠EO′P=45°.∴OM∥O′N（同位角相等，两直线平行）.方法归纳：本题主要考查了平行线的判定方法.解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.易错误区：第（2）题中虽然有∠EOM与∠FO′N相等，但它们不是同位角，不能直接用来判定两直线平行.例4、如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，∠1+∠2=90°. （1）求证：AB∥CD；（2）试探究∠2与∠3的数量关系.思路点拨：（1）根据BE，DE分别平分∠ABD，∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行；（2）根据∠1+∠2=90°，可得∠BED=90°，从而可得∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系. 解题过程：（1）证明：∵BE ，DE 分别平分∠ABD ，∠BDC ， ∴∠1=21∠ABD ，∠2=21∠BDC. ∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=180°.∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）. （2）∵DE 平分∠BDC ，∴∠2=∠FDE. ∵∠1+∠2=90°，∴∠BED=∠DEF=90°. ∴∠3+∠FDE=90°.∴∠2+∠3=90°.方法归纳：本题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，注意题中各角之间的数量关系要理清楚.易错误区：第（2）题中的数量关系不是等量关系，不要误认为∠2=∠3.例5、如图1，已知∠EAC=90°，∠1+∠2=90°，∠1=∠3，∠2=∠4.求证： （1）DE ∥BC ；（2）若将图形改变为图2、图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请选择一个图形予以证明；若不成立，请说明理由.图1 图2 图3思路点拨：（1）首先证明∠1+∠3+∠2+∠4=180°，进而证明∠D+∠B=180°，即可解决问题；（2）在图2中，连结CE ，证明∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°，即可解决问题. 解题过程：（1）如图1，∵∠1=∠3，∠2=∠4， ∴∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2）. ∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°.∵∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=360°， ∴∠D+∠B=180°.∴DE ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）. （2）成立. 如图，连结EC.∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2=90°， ∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°. ∵∠EAC=90°，∴∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°. ∴∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°.∴DE ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）. ∴（1）中的结论仍成立. 图3用类似方法可得DE ∥BC.方法归纳：本题考查了平行线的判定问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角度数关系（三角形三个内角和等于180°），结合平行线的判定定理来分析、判断、解答. 易错误区：图2通过连结EC 将∠3和∠4的关系用三角形联系起来是本题难点.探究提升例、三条直线两两相交于三点（如图1），共有几对对顶角？几对邻补角？几对同位角？几对内错角？几对同旁内角？四条直线两两相交呢（如图2）？你能发现n 条直线两两相交的规律吗？思路点拨：解题的关键在于找到每个图形中含有几个三线八角的基本图形，三条直线两两相交，共有3个三线八角的基本图形；四条直线两两相交有12个三线八角的基本图形.n条直线中任选两条有2)1(-nn种选法，然后在剩下的（n-2）条直线中任选一条直线作为截线共有（n-2）种选法，所以n条直线两两相交共有2)2)(1(--nnn个三线八角的基本图形.解题过程：三条直线两两相交于三点，共有6对对顶角，12对邻补角，12对同位角，6对内错角，6对同旁内角；四条直线两两相交，共有12对对顶角，24对邻补角，48对同位角，24对内错角，24对同旁内角；n条直线两两相交，共有nn-1对对顶角，2nn-1对邻补角，2nn-1（n-2）对同位角，nn-1（n-2）对内错角，nn-1（n-2）对同旁内角.方法归纳：对于规律题关键在于找出规律，但在找到规律的同时还需要明确基本图形的特征. 易错误区：本题通过分解图形，利用“三线八角”这一基本图形解决问题，仅利用图形找角是不容易找全的.专项训练拓展训练A组1.如图，∠1与∠2是同位角的是（）.(第1题)A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④2.如图，下列条件中，能判定DE∥AC的是（）.A.∠EDC=∠EFCB.∠AFE=∠ACDC.∠3=∠4D.∠1=∠2(第4题) (第5题)3.如图，请填写一个你认为恰当的条件：，使AB∥CD.4.如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角.其中正确的是（填序号）.(第7题) (第8题)5.如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线CO与AB所夹的∠BOC=82°，当直线OC绕点O按逆时针方向至少旋转°时，OC∥AD.6.如图，已知∠1=∠2，∠BAC=20°，∠ACF=80°.（1）求∠2的度数；（2）FC与AD平行吗？为什么？（3）根据以上结论，你能确定∠ADB与∠FCB的大小关系吗？请说明理由.(第11题)B组7.在同一平面内，有l1，l2，l3，l4四条直线，若l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则（）.A.l1⊥l3，l2⊥l4B.l1∥l3，l2⊥l4C.l1∥l3，l1⊥l4D.l1∥l4，l2⊥l48.如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3.求证：BE∥DF.(第17题)9.如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠AMD=∠AGF，∠1=∠2=35°.（1）求∠GFC的度数；（2）求证：DM∥BC.(第18题)走进重高1.【柳州】如图，与∠1是同旁内角的是（）.A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5(第1题) (第2题)2.【赤峰】如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC=150°，∠BCD=30°，则（）.A.AB∥BCB.BC∥CDC.AB∥DCD.AB与CD相交3.【淄博】如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由.(第5题)4.如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD.（1）求证：CE∥GF；（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；（3）若∠EHF=100°，∠D=30°，求∠AEM的度数.(第6题)高分夺冠1.直线a，b，c在同一平面内，①如果a⊥b，b⊥c，那么a∥c；②如果a∥b，b∥c，那么a ∥c；③如果a∥b，b⊥c，那么a⊥c；④如果a与b相交，b与c相交，那么a与c相交.在上述四种说法中，正确的有个.4.将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°.（1）若∠BCD=150°，求∠ACE的度数；（2）试猜想∠BCD与∠ACE之间的数量关系，并说明理由；（3）若按住三角尺ABC不动，绕顶点C转动三角尺DCE，试探究∠BCD等于多少度时，CD∥AB，并简要说明理由.备用图1 备用图2(第4题)。