第一章图像边缘的定义引言在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。
图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从而可以对图像进行进一步的分析和理解。
由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。
根据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子：Roberts算子Prewitt算子Laplace算子等。
经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。
这些算子毫无例外地对噪声较为敏感。
由于原始图像往往含有噪声、而边缘和噪声在空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。
于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。
小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法，Mallat S提出了一小波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。
小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘检测方法更实用和准确。
小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为平滑函数的一阶导数或二阶导数。
利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。
常用的小波算子有Marr 算子Canny算子和Mallat算子等。
§1.1信号边缘特征人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各部分有机组成的。
人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时,图像知觉比较稳定；图像在空间上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中，如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位置、方向角度影响知觉的效果。
从以上这几点，可以总结出待识别的图像边缘点应具有下列特征即要素：具有较强的灰度突变，也就是与背景的对比度鲜明；边缘点之间可以形成有意义的线形关系，即相邻边缘点之间存在一种有序性；具有方向特征；在图像中的空间相对位置；边缘的类型，即边缘是脉冲型、阶跃型、斜坡型、屋脊型中哪一种。
§1.2图像边缘的定义边缘检测是图像处理中的重要内容。
而边缘是图像中最基本的特征，也是指周围像素灰度有变化的那些像素的集合。
主要表现为图像局部特征的不连续性，也就是通常说的信号发生奇异变化的地方。
奇异信号沿边缘走向的灰度变化剧烈，通常分为阶跃边缘和屋顶边缘两种类型。
阶跃边缘在阶跃的两边的灰度值有明显的变化；屋顶边缘则位于灰度增加与减少的交界处。
我们可以利用灰度的导数来刻画边缘点的变化，分别求阶跃边缘和屋顶边缘的一阶，二阶导数。
如图可见，对于边缘点A，阶跃边缘的一阶导数在A点到最大值，二阶导数在A点过零点；屋顶边缘的一阶导数在A点过零点，二阶导数在A点有最大值。
第二章 传统的边缘检测算子§2.1传统的边缘检测算子边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对像与背景间的交界线。
我们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。
而灰度变化的情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，所以我们可以用局部图像微分技术来获得边缘检测算子。
以下对比较经典的边缘检测算子进行了理论分析，并做出了比较和评价。
我们记为(,)f f f x y i j x y ∂∂∇=+∂∂图像的梯度，(,)f x y ∇中包含局部灰度的变化信息。
记： (,)e x y = (2.1) 为梯度(,)f x y ∇的幅度，(,)e x y 可以用做边缘检测算子。
常用的边缘检测方法有：差分边缘检测，Roberts 边缘检测算子，Sobel 边缘检测算子，Prewitt 边缘检测算子,Robinson 边缘检测算子,Lapalce 边缘检测算子等等。
§2.2 差分边缘检测方法利用像素灰度的一阶导数算子在灰度迅速变化处得到高值来进行奇异点的检测。
它在某一点的值就代表该点的“边缘强度”，可以通过对这些值设置阈值来进一步得到边缘图像。
但用差分边缘检测必须使差分的方向与边缘方向垂直，这就需要对图像的不同方向都进行差分运算，增加了实际运算的繁琐性。
一般为垂直边缘、水平边缘、对角线边缘检测：图2-1 差分算法检测边缘的方向模板§ 2.3 Roberts 边缘检测算子Roberts 边缘检测算子根据任意一对互相垂直方向上的差分可以用来计算梯度的原理，采用对角线方向相邻两像素之差，即：他们的卷积算子为：10:01x f ⎡⎤∆⎢⎥-⎣⎦ 01:10y f ⎡⎤∆⎢⎥-⎣⎦有了x f ∆，y f ∆之后，很容易计算出Roberts 的梯度幅值(,)R i j ，适当的取门限TH ，作如下判断：(,)R i j TH >，(,)i j 为阶跃边缘点。
{}(,)R i j 为边缘图像。
Roberts 算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值边缘检测。
检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高，对噪声敏感。
图2-2：用Roberts算子进行边缘检测的Lena图与原图像§2.4 Sobel边缘检测算子对数字图像{}f i j的每一个像素，考察它上，下，左，右邻点灰度的(,)加权差，与之接近的邻点的权大。
据此，定义Sobel算子如下：卷积算子为：图2-3：Sobel边缘检测算子方向模板适当的取门限TH，作如下判断：(,),(,)>为阶跃边缘点，为s i j TH i j{}s i j边缘图像。
(,)Sobel算子很容易在空间上实现，Sobel边缘检测器不但产生较好的边缘检测效果，而且受噪声的影响也比较小。
当使用大的领域时，抗噪声特性会更好，但这样做会增加计算量，并得出的边缘也比较粗。
Sobel算子利用像素点上下，左右邻点的灰度加权算法，根据在边缘点出达到极值这一现象进行边缘的检测。
Sobel算子对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信息，但它同时会检测出许多的伪边缘，边缘定位精度不高。
当对精度要求不是很高时，是一种较为常用的方法。
图2-4：用Sobel算子进行边缘检测的Lena图与原图像§2.5 Prewitt边缘检测算子Prewitt算子是一种边缘样板算子。
这些算子样板由理想的边缘子图像构成。
依次用边缘样板去检测图像，与被检测区域为相似的样板给出最大值。
用这个最大值作为算子的输出值(,)P i j，这样就可以将边缘像素检测出来。
定义Prewitt边缘算子模板如下：图2-5：Prewitt边缘检测算子模板8个算子样板对应的边缘方向如下图所示：图2-6：样板方向适当取门限TH，作如下判断：(,),(,)为阶跃边缘点。
(,)P i jP i j TH i j为边缘图像。
图2-7：用Prewitt算子进行边缘检测的Lena图与原图§2.6 Robinson 边缘检测算子Robinson 边缘检测算子也是一种边缘样板算子，其算法和Prewitt边缘检测算子相似，只是8个边缘样板不同。
如下所示：图2-8：Robinson 边缘检测算子模板§2.7 Laplace 边缘检测算子Laplace 算子是二阶微分算子，是一个标量，属于各向同性的运算，对灰度突变敏感。
在数字图像中，可以用差分来近似微分运算，(,)f i j 的Laplace 算子为Laplace 算子的二种估算模板：图2-9：Laplace 的两种估算模板对阶跃边缘，二阶导数在边缘点出现零交叉，即边缘点两边二阶导函数取异号。
Laplace 算子就是据此对{}(,)f i j 的每个像素取它关于x 方向和y 方向的二阶差分之和，这是一个与边缘方向无关的边缘检测算子。
而对屋顶状边缘，在边缘点的二阶导数取极小值，这时对{}(,)f i j 的每个像素取它关于x 方向和y 方向的二阶差分之和的相反数。
Laplace 算子有两个缺点：其一是边缘的方向信息丢失，其二是Laplace 算子为二阶差分，双倍加强了图像中的噪声影响：优点是各向同性，即具有旋转不变性。
因为在微分学中有：一个只包含偶次阶导数和取偶次幂的奇次阶导数的线形组合算子，一定是各向同性的。
Laplace算子实际二阶微分算子，利用边缘点处二阶导函数出现零交叉原理检测边缘。
不具有方向性，对灰度突变敏感，定位精度高，不但检测出了绝大部分的边缘，同时基本上没有出现伪边缘。
但他的检测也存在一些缺点，如丢失一些边缘，有一些边缘不够连续，对噪声敏感且不能获得边缘方向的功能信息。
图2-10：用Laplace算子进行边缘检测的Lena图与原图§2.8 检测结果与结论通过对以上介绍的几种边缘检测算子的算法公式和检测的结果可以看出，Roberts算子简单直观，但边缘检测图里存在有伪边缘；Sobel算子、Prewitt算子和Robinson的检测结果图能检测出更多的边缘，但也存在有伪边缘且检测出来的边缘线比较粗，并放大了噪声；Lapalce算子和改进的Laplace算子利用二阶差分运算来进行检测，但不可以检测出较多的边缘，而且还在很大程度上消除了伪边缘的存在，定位精度高。
但受噪声的影响比较大。
第三章小波变换在图像边缘检测中的应用§3.1 小波思想的引入虽然边缘提取已有梯度算子、Laplace算子、Sobel算子等方法，但这些算法都没有自动变焦的思想。
而事实上，由于物理和光照等原因，每幅图像中的边缘通常产生在不同的尺度范围内，形成不同类型的边缘，这些信息是未知的。
另外图像中还存在有噪声，因此，根据图像特性自适应地正确检测出图像的边缘是非常困难的。
可以肯定，用单一尺度的边缘算子不可能检测出所有的边缘，同时，为避免在滤除噪声是影响边缘检测的正确性，用多尺度的方法检测边缘越来越引起人们的重视。
由于小波变换具有良好的时频局部化特性及多尺度分析能力，在不同尺度上具有“变焦”的功能，适合于检测突变信号。
是检测突变信号强有力的工具，得到了广泛的应用。
§3.1.1小波变换在图像边缘检测中的优势用小波变换对信号做多分辨率分析非常适合提取信号的局部特征。
这是因为小波变换的尺度因子和平移因子构成了一个滑动的时间-频率窗，小尺度下的变换系数对应信号的高频分量，大尺度下的变换系数对应信号的低频分量。
于是信号被分解成各个频率下的分量，这样就可以检测对应不同频率的信号局部特征。
而图像中的突变信息和噪声都属于高频信号，可以利用小波变换后的高频分量进行去噪和得到边缘图像。